第02讲 平行线常见模型及辅助线的常见做法-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

第02讲 平行线常见模型及其辅助线做法 【平行线常见模型总结】 【平行线常见辅助线的做法】 过“拐点”做已知平行线的平行线 类题训练 1．（2021秋•仁寿县期末）如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论： ①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD； ③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF． 其中正确的个数有多少个？（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由于AB∥CD，则∠ABO＝∠BOD＝a°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根据角平分线定义得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF＝a°，则∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE＝a°，则∠POE＝∠BOF； 根据∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正确． 【解答】解：①∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ABO＝a°， ∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°， 又∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确； ②∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°， ∴∠BOF＝∠BOD， ∴OF平分∠BOD所以②正确； ③∵OP⊥CD， ∴∠COP＝90°， ∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°， ∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确； ∴∠POB＝90°﹣a°， 而∠DOF＝a°，所以④错误． 故选：C． 2．（2021•合肥三模）如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答． 【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补． 故选：D． 3．（2021•商河县校级模拟）如图，直线l1∥l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝（　　）度． A．35 B．55 C．60 D．70 【分析】先根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再由直角三角形的性质求出∠PAB的度数，故可得出结论． 【解答】解：∵直线l1∥l2被直线l3所截， ∴∠CAB＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∵△ABP中，∠2＝35°，∠P＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣35°＝55°， ∴∠3＝∠CAB﹣∠PAB＝110°﹣55°＝55°． 故选：B． 4．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　） A． β＝α+γ B．α+β+γ＝180° B． C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180° 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°． 故选：C． 5．（2019•永春县校级自主招生）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【分析】延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC＝∠B＝75°，求出∠FDC＝35°，根据三角形外角性质得出∠C＝∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 【解答】解：延长ED交BC于F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°， ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 6．（2021春•丽水月考）如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（　　） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【分析】过C点作CF∥AB，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：过C点作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴CF∥DE， ∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°， ∴β＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°， ∵AB∥DE， ∴∠A+∠E＝α＝180°， ∴2α＝β， 故选：B． 7．（2021•商水县三模）如图所示，将含有30°角的三角尺（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝40°．则∠2的度数（　　） A．20° B．26° C．30 D．36° 【分析】延长BC与直线MN相交于点D，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠MDC，由∠A＝30°，∠ABC＝90°，得到∠ACB＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相