6.1-6.2 平面向量的概念和运算【学案】(7课时)-高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）

《6.1平面向量的概念》 导学案 参考答案 新课导学 【学习活动与步骤】 1、 学生自学 （1）向量的实际背景与概念 向量与数量的定义：我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把只有大小，没有方向的量称为数量。 向量在物理学中称为矢量；数量在物理学中称为标量。 数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比较大小的。 （2）向量的几何表示 1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作|| 2.向量的表示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 【思考】向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量. 有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段. （3）模、零向量、单位向量： 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||. 长度为0的向量叫做零向量，记作0； 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。 （4）相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 记法：向量a与b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行。 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量. 共线向量与平行向量关系：如图所示,因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关）,所以平行向量就是共线向量。 二、情景引入： 1. 老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。 三、探索新知 （一）向量的实际背景与概念 1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。 2.提出定义：向量与数量的定义： 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量). 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小. 练习：下列量不是向量的是（ ） （1） 质量 （2）速度 （3）位移 （4）力 （5）加速度 （6）面积 （7）年龄 （8）身高 【答案】（1）（6） （7） （8） （二）向量的几何表示 探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？ 1.有向线段的定义 在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.A(起点) B （终点） a A(起点) B （终点） a 如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 . 线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 . 思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 【答案】三个要素：起点、方向、长度. 2. 向量的几何表示 画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 3.向量的表示方法： 一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。 若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）. 注意：（1）向量:与起点无关。用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置，数学中的向量也叫自由向量。A(起点) B （终点） a （2）有向线段与向量的区别： 有向线段：三要素：起点、大小、方向。 向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。 （三）向量的相关概念 1.向量的模 向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。 思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？A(起点) B （终点） a 【答案】可以为0,1，不能为负数。 2.零向量：长度为0的向量，记作. 3.单位向量：长度等于1个单位的向量. 说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向. 故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定. （2）注意：向量是不能比较大小的,但