第三讲 等腰直角三角形（一）-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第三讲 等腰直角三角形一 必备知识点 【等腰直角三角形类】 等腰Rt△ABD、△BCE，则：（1）△ABC≌△BDE （2）∠ACB＝∠DEB 已知等腰Rt△BCE，将△ABC绕B点旋转90°到△BDE，那么会得到一个新的△ABD也为等腰Rt△。 【等腰直角三角形半角模型】 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，则有以下结论成立：MN2=CM2+AN2 考点一 等腰直角三角形旋转模型 1．如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC上（且不与点A，C重合），以AD为直角边向外作等腰Rt△ADE，使∠ADE＝90°，连接CE，再以CE、CB为邻边作平行四边形CBFE． （1）已知CD＝，求线段CF的长； （2）将Rt△ADE绕点A逆时针旋转角α（90°＜α＜180°），如图②，连接CD、CE，再以CE、CB为邻边作平行四边形CBFE，设线段AB、CE交于点G，求证：CF＝CD． 【解答】解：（1）∵△ADE与△ACB为等腰Rt△， ∴AC＝BC，AD＝ED，∠ADE＝90°； ∵四边形BFEC为平行四边形， ∴EF＝BC． ∴EF＝AC， ∴EF﹣ED＝AC﹣AD； ∴DC＝DF， 又∠CDF＝∠ADE＝90°， ∴CF＝CD＝2； （2）延长EF交AC于点H，则FH⊥AC．连接DF． ∵FH⊥AC，∴∠AHE＝90°， ∵∠ADE＝90°，∴∠ADE+∠AHE＝180° ∴∠DAC+∠DEH＝180°， 又∠DEH+∠DEF＝180° ∴∠DAC＝∠DEF． ∴在△DAC与△DEF中， ∴△DAC≌△DEF（SAS）． ∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF ∵∠ADC+∠CDE＝90°， ∴∠EDF+∠CDE＝90°． 即∠CDF＝90°， ∴． 2．已知，在等腰直角△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，D是△ABC内一点，连接BD，过点D作DE⊥DB，且DB＝DE，连接BE． （1）如图1，连接AD，若∠1＝30°，ED＝2，CA＝2，求线段AD的长度； （2）如图2，连接AE，CD．若F是AE的中点，连接CF，求证：CD＝CF． 【解答】（1）解：如图1，连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠1＝30°，ED＝2， ∴DF＝ED＝1，BF＝， ∵CA＝2， ∵∠BCA＝90°，AC＝BC， ∴AB＝CA＝4， ∴AF＝AB﹣BF＝3， ∴AD＝＝＝2； （2）如图2，延长AC到G，使CG＝CA，连接BG，EG， ∵∠BCA＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵BC⊥AG，CG＝CA， ∵F是AE的中点， ∴CF＝GE， ∵∠CBG＝∠DBE＝45°， ∴∠CBG﹣∠CBE＝∠DBE﹣∠CBE， 即∠EBG＝∠DBC， ∵＝＝， ∴△BEG∽△DBC， ∴＝＝， 即EG＝CD， ∴CF＝GE＝CD， ∴CD＝CF． 3．在△ABC中，AC＝BC，以AB为边作等腰直角△ABD，使∠BAD＝90°，边BD交AC于点E． （1）如图1，过点A作AH⊥BD于点H，当∠BAC＝75°，AD＝时，求线段EC的长； （2）如图2，过点B作BF⊥BC于点B，且BF＝BC，连接AF，若E为AC的中点，求证：AF＝2DE． 【解答】（1）解：如图1中， ∵CA＝CB， ∴∠BAC＝∠ABC＝75°， ∴∠C＝180°﹣2×75°＝30°， ∵AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠D＝45°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣45°＝30°， ∴EB＝EC， ∵AH⊥BD， ∴∠BAH＝∠DAH＝45°， ∴∠HAE＝75°﹣45°＝30°， ∵AH＝AD＝， ∴BH＝DH＝AH＝，EH＝AH•tan30°＝1， ∴BE＝BH+EH＝+1， ∴EC＝EB＝+1． （2）证明：如图2中，作BH⊥BA，使得BH＝BA，连接AH交BD于O，连接CH． ∵∠FBC＝∠ABH＝90°， ∴∠FBA＝∠CBH， ∵BF＝BC，BA＝BH， ∴△FBA≌△CBH（SAS）， ∴AF＝CH，∠BAF＝∠BHC，∠F＝∠BCH， ∵∠ABD＝∠OBH＝45°，BA＝BH， ∴OA＝OH，BO⊥AH， ∴OB＝OD＝OA＝OH， ∵AE＝EC， ∴OE∥EC，OE＝CH， ∴∠AHC＝∠AOD＝90°， ∵∠BHA＝∠BAH＝45°， ∴∠HBC＝∠BAF＝135°， ∴∠BAF+∠BAH＝180°， ∴F，A，H共线， ∵∠CAB＝∠CBA，∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠CAH＝∠CBO， ∵∠CBO＝∠BCH，∠BCH＝∠F， ∴∠CAH＝∠F， ∵AC＝CB＝BF，∠AHC＝∠FOB＝90°， ∴△FOB≌△AHC（AAS）， ∴OB＝CH，