第六讲 角平分线-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第六讲 角平分线 目录 1必备知识点 2考点一 内外角评分线模型 9考点二 角平分线常见辅助线 必备知识点 1．角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 （2）逆定理：叫内部到角两边相等的点在角平分线上 2．内、外角平分线 3．角平分线常见辅助线方法 4．角平分线比定理 考点一 内外角评分线模型 1．如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE， ∴PF＝PG， ∴S△ABP：S△BCP＝AB•PF：BC•PG＝AB：BC，故①正确； 过P作PH⊥AC于H， ∵PC平分∠ACE， ∴PH＝PG， ∴PF＝PH， ∴PA平分∠CAF， ∵BP平分∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB， ∵∠ACB+∠ACE＝180°， ∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正确； ∵PF⊥AB，PG⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°， ∴∠ABC+∠FPG＝180°， 在Rt△PAF和Rt△PAH中， ， ∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL）， ∴∠APF＝∠APG， 同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL）， ∴∠CPH＝∠CPG， ∴∠FPG＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确； 故选：D． 2．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE＝∠AMF＝90°， ∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°， ∴∠DEA＝∠AGH，故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC＝∠BAC， ∠DAE＝90°﹣∠AED， ＝90°﹣（∠ACE+∠EAC）， ＝90°﹣（∠ACE+∠BAC）， ＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC）， ＝（∠ABD﹣∠ACE）， 故②正确； ③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°， ∴∠AGH＝∠MEF， ∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确； ④∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故③正确； 故选：D． 3．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线， ∴∠ABP＝∠ABC， ∠CAP＝（90°+∠ABC）＝45°+∠ABC， 在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP， ＝180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC， ＝180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC， ＝45°，故本小题正确； ②∵PF⊥AD，∠APB＝45°（已证）， ∴∠APB＝∠FPB＝45°， ∵PB为∠ABC的角平分线， ∴∠ABP＝∠FBP， 在△ABP和△FBP中，， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确； ③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD， ∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°， ∴∠AHP＝∠FDP， ∵PF⊥AD， ∴∠APH＝∠FPD＝90°， 在△AHP与△FDP中，， ∴△AHP≌△FDP（AAS）， ∴DF＝AH， ∵BD＝DF+BF， ∴BD＝AH+AB， ∴BD﹣AH＝AB，故③小题正确； ④∵PF⊥AD，PD＝PH，∠ACB＝90°， ∴△DPH为等腰直角三角形， ∴∠PDH＝45°， ∵∠PAF＝45°， ∴AG⊥DH， ∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形， ∴DG＝AG，GH＝GF， ∴DG＝GH+AF