第二讲 等边三角形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第二讲 等边三角形 目录 1必备知识点 1考点一 等边三角形的判定与性质 8考点二 等边三角形中的旋转模型 21考点三 等边三角形中的存在性问题 必备知识点 1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 考点一 等边三角形的判定与性质 1．如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝　7cm　． 【解答】解：连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG，如图所示： ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PD+BC•PF+AC•PE＝AB•CG， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴AB（PE+PF+PD）＝AB•CG， ∴PE+PD+PF＝CG＝7cm 故答案为：7cm； 2．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DE＝AC， ∵AC＝1， ∴DE＝． 故答案为：． 3．如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE＝BF＝CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为　　． 【解答】解：∵AE＝BF＝CG，AB＝AC＝BC， ∴AG＝BE＝CF， ∵∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴△AEG≌△BFE≌△CGF， ∴EF＝FG＝EG， ∴△ABC∽△EFG， ∴（）2＝， 即（）2＝， 解得EF＝， ∴EG＝， 过G点作GH⊥AE于点H，设AE＝x，则AG＝2﹣x， ∴∠AGH＝30°，AH＝AG＝（2﹣x）＝1﹣x， EH＝AE﹣AH＝x﹣（2﹣x）＝x﹣1， 在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG2＝AG2﹣AH2＝EG2﹣EH2， 即（2﹣x）2﹣（1﹣x）2＝（）2﹣（x﹣1）2， 整理得，3x2﹣6x+2＝0， 解得x＝． 故答案为：． 4．如图，等边△ABC外一点P到三边距离分别为h1，h2，h3，且h3+h2﹣h1＝3，其中PD＝h3，PE＝h2，PF＝h1．则△ABC的面积S△ABC＝　3　． 【解答】解：连接PA、PB、PC，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， 设△ABC的边长是x，则S△ABC＝， 而S△ABC＝S△ABP+S△ACP﹣S△BCP ＝ ＝， h3+h2﹣h1＝3， ∴， ∴x＝2， ∴． 5．如图，P为正三角形ABC内任一点，PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，则＝　　． 【解答】解：设等边三角形的边长为a，连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，如图所示： ∵S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC，S△ABC＝a2，BE2+CF2+AD2＝BF2+CD2+AE2， 即：a•PD+a•PE+a•PF＝a2， ∴PD+PE+PF＝a； 根据勾股定理得： BD2+PD2＝PB2＝BF2+PF2①， CE2+PE2＝PC2＝CD2+PD2②， AF2+PF2＝PA2＝AE2+PE2③， ①+②+③得：BD2+CE2+AF2＝BF2+CD2+AE2， ∴BD2+CE2+AF2＝（a﹣BD）2+（a﹣CE）2+（a﹣AF）2 整理得：2a（BD+CE+AF）＝3a2 ∴BD+CE+AF＝a， 可得：＝， 故答案为： 6．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE＝CD；②∠AFC＝120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是　①②④　（填所有正确答案的序号）． 【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°， ∵在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵∠ACD＝∠BAE， ∴∠CAF+∠ACD＝∠CAF+∠BCE＝∠BAC＝60°， 在△ACF中，∠AFC＝180°﹣（∠CAF+∠ACD）＝180°﹣60°＝120°，故②正确； ∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠FAD≠60°， ∴△ADF不是正三角形，故③错误； ∵∠AFG＝