第一讲 等腰三角形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第一讲 等腰三角形 目录 1必备知识点 1考点一 等腰三角形的判定与性质 5考点二 等腰三角形中的旋转模型 13考点三 等腰三角形中的存在性问题 必备知识点 1．等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 2．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 考点一 等腰三角形的判定与性质 1．在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　） A．40° B．55° C．70° D．40°或55°或70° 【解答】解：等腰三角形中已知∠A＝70°，分两种情况讨论： ①∠A为底角，那另外两个角为70°和40°， ②∠A为顶角，那另外两个角为55°． 所以∠B的度数是70°或55°或40°． 故选：D． 2．等腰三角形的两边为a，b，且满足|a﹣3|+36﹣12b+b2＝0，那么它的周长为（　　） A．12 B．15 C．12或15 D．13 【解答】解：∵|a﹣3|+36﹣12b+b2＝0， ∴|a﹣3|+（6﹣b）2＝0， ∴a＝3，b＝6． 又∵三角形是等腰三角形， ∴三边长为6，6，3或3，3，6（不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为6+6+3＝15． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E在AD上．且AE＝AD，若△ABC的面积为S，则△ABE的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BD＝DC． ∵BD＝DC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的对称轴． 由轴对称图形的性质可知：△ADB的面积＝×△ABC的面积＝． ∵AE＝AD， ∴△ABE的面积＝×△ADB的面积＝×＝． 故选：D． 4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝10，则FE+FD＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：过C作CG⊥AB，连接AF， ∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC ∴＝+， ∵AB＝AC ∴FD+FE＝CG＝＝4． 故选：B． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝2，则BN的长为 　　． 【解答】解：连接AM， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠C＝30°， ∵M为BC的中点， ∴AM⊥BC， ∴AB＝2AM， ∵BE⊥BC， ∴∠AMD＝∠EBD＝90°， ∵D为BM的中点， ∴DM＝DB， 在△AMD和△EBD中， ∠AMD＝∠EBD，DM＝DB，∠ADM＝∠EDB， ∴△AMD≌△EBD（ASA）， ∴AM＝BE＝， ∴AB＝， ∴BM＝， ∵MN⊥AB，∠B＝30°， ∴MN＝BM＝， ∴BN＝． 故答案为：． 6．如图，△ABC中，AC＝DC＝4，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 　8　． 【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH， ∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×4×4＝8． ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故答案为：8． 考点二 等腰三角形中的旋转模型 7．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△E