第五讲 直角三角形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第五讲 等腰直角三角形二 目录 1必备知识点 1考点一 勾股定理的应用二--翻折问题 6考点二 直角三角形的性质--斜中半 12考点三 直角三角形有关几何证明 必备知识点 1．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：（1）直角三角形两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2．勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 考点一 勾股定理的应用二--翻折问题 1．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x， ∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE， ∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E， ∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD＝3x， ∴AB＝AD+DB＝8x＝16， ∴x＝2， ∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4， ∴BC＝＝8， 设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E， ∵CE2+B'C2＝B'E2， ∴a2+32＝（8﹣a）2， 解得a＝3， ∴CE＝3， 故选：C． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：由折叠可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FCA， ∴AF＝FC， 设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x， 在Rt△BCF中，由勾股定理得， FC2＝FB2+BC2， 即x2＝（8﹣x）2+42， 解得x＝5， 即AF＝5， 故选：B． 3．如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：∵矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB＝6，BC＝8， ∴CD＝AB＝6，BM＝CM＝4， ∴DM＝＝2， ∵沿DM将三角形CDM进行翻折， ∴ME＝CM＝4，∠EMD＝∠CMD， ∴BM＝EM， 过M作MF⊥BE于F， ∴BE＝2BF，∠BMF＝∠EMF， ∴∠EMF+∠DME＝90°， ∴∠BME+∠CMD＝90°， ∵∠CMD+∠CDM＝90°， ∴∠CDM＝∠BMF， ∵∠BFM＝∠C＝90°， ∴△BFM∽△MCD， ∴＝， ∴＝， ∴BF＝， ∴BE＝2BF＝， 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　） A． B．3 C．2 D．4 【解答】解：如图，延长BC交AE于H， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°， ∴∠ACB＝120°， ∵将△ACB沿直线AC翻折， ∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°， ∵∠DAE＝∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝15°， ∴∠CAE＝30°， ∵∠ADC＝∠DAE+∠AED， ∴∠AED＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AED＝∠EAC， ∴AC＝EC， 又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC， ∴△ABC≌△EBC（SAS）， ∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC， ∴AH＝EH，BH⊥AE， ∵∠CAE＝30°， ∴CH＝AC＝，AH＝CH＝， ∴AE＝2， ∵AB＝BE，∠ABE＝90°， ∴BE＝＝2， 故选：C． 考点二 直角三角形的性质--斜中半 5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（　　） A．