第四讲 等腰直角三角形（二）-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第四讲 等腰直角三角形二 目录 1必备知识点 2考点一 等腰直角三角一线三垂模型 16考点二 等腰直角三角形存在性问题 必备知识点 【结论一】 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则有以下结论成立： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE 【结论二】（其他形状一线三垂直） ①△ADC≌△CEB； ②△ADC≌△CEB 考点一 等腰直角三角一线三垂模型 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E． （1）如图1，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，求证：△ACD≌△CBF； （2）如图2，若D为BC的中点，CE的延长线交AB于点M，连接DM，求证：∠BDM＝∠ADC； （3）在（2）的条件下，若AE＝4，CE＝2，直接写出CM的长． 【解答】（1）证明：∵BF⊥BC，CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠CBF＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ACE＝∠BCF+∠ACE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCF， 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBF（ASA）； （2）证明：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，如图2所示： 由（1）得：△ACD≌△CBF， ∴∠ADC＝∠F，CD＝BF， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∴BD＝BF， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵∠CBF＝90°， ∴∠FBM＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DBM＝∠FBM， 又∵BM＝BM， ∴△BDM≌△BFM（SAS）， ∴∠BDM＝∠F， ∴∠BDM＝∠ADC； （3）解：连接DF，如图3所示： ∵CE⊥AD，AE＝4，CE＝2， ∴BC＝AC＝＝＝2， 由（2）得：BD＝BF，CD＝BD＝BC＝，△BDM≌△BFM， ∴DM＝FM，AD＝＝＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝1， ∵∠DBF＝90°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝， ∴EF＝＝＝3， 设DM＝FM＝x，则EM＝3﹣x， 在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴EM＝3﹣＝， ∴CM＝CE+EM＝2+＝． 2．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为线段AB上一点，连接CD，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E． （1）如图1，若BC＝3，AE＝1，CE＝4，求线段AB的长度； （2）如图2，若AC＝BC，点F是线段EA延长线上一点，连接BF与CE交于点G，且∠DAE＝∠ACF，求证：AF＝2GE； （3）如图3，在（2）的条件下，点M为CE的中点，过点M作HM⊥CE交AB于点H，连接EH，若∠HEC+2∠ACE＝90°，请直接写出线段CF、DE、EH的关系． 【解答】解：（1）∵∠AEC＝90°， ∴AC2＝AE2+CE2＝17， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2+AC2＝9+17＝26， ∴AB＝； （2）如图2，过点B作BN⊥CE于N， ∵BN⊥CE，EF⊥CE， ∴∠BNC＝∠CEA＝90°＝∠ACB， ∴∠BCN+∠CBN＝90°＝∠BCN+∠ACE， ∴∠CBN＝∠ACE， 又∵AC＝BC， ∴△BCN≌△CAE（AAS）， ∴CN＝AE，BN＝CE， ∵AC＝BC，∠BCA＝90°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∵∠DAE+∠ACE+∠BAC+∠E＝180°， ∴∠DAE+∠ACE＝45°， 又∵∠DAE＝∠ACF， ∴∠ACF+∠ACE＝45°， ∴∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠EFC＝45°， ∴EF＝EC， 又∵CN＝AE，BN＝CE， ∴EF＝EC＝BN，NE＝AF， ∵∠BNG＝∠E＝90°，∠BGN＝∠FGE，EF＝BN， ∴△BGN≌△FGE（AAS）， ∴GN＝GE， ∴AF＝2GE； （3）CF＝HE+DE， 理由如下：如图3，连接CH， ∵点M为CE的中点，HM⊥CE， ∴CH＝HE， ∴∠HEC＝∠HCE， ∵∠HEC+2∠ACE＝90°， ∴∠HCE+2∠ACE＝90°， 又∵∠HCE+∠BCH+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝∠ACE， ∴∠BCH+∠B＝∠ACE+∠CAB， ∴∠CHD＝∠CDH， ∴CH＝CD， ∴HE＝CD＝CH， ∵CE＝CD+DE＝HE+DE，CF＝CE， ∴CF＝HE+DE． 3．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P与点Q是线段AB上的两点，连接CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点Q作QN⊥CP于点N． （1）如图1，若∠BCP＝22.5°，求证：CM＝MP； （2）如图2，若BP＝PQ，求证CM＝QN； （3）如图3，若点Q是线段AB的中点，AM