2.1 等差数列与等比数列-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　等差数列与等比数列 高考定位　1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下. 1.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 答案　C 解析　设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). 2.(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　∵a1＝2，am＋n＝aman， 令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4. 3.(2020·全国新高考改编)将数列{22n－1}与{23n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为______. 答案　(26n－1) 解析　因为数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{3n－2}是以1为首项，3为公差的等差数列. 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，6为公差的等差数列，即{6n－5}，所以an＝26n－5. 则{an}的前n项和为＝(26n－1). 4.(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2可得，＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2). 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. (2)解　由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝，则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 故an＝ 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝＝na1＋d； (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝＝； (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列. 温馨提醒　应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*. 热点一　等差、等比数列的基本运算 【例1】 设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值. 解　(1)设{an}的公差为d. 因为a1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6). 所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d). 解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)法一　由(1)知，an＝2n－12. 则当n≥7时，an>0； 当n＝6时，an＝0； 当n<6时，an<0； 所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30. 法二　由(1)知，Sn＝(a1＋an)＝n(n－11)＝－，又n∈N*， ∴当n＝5或n＝6时，Sn的最小值S5＝S6＝－30. 探究提高　1.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1