1.2 三角恒等变换与解三角形-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第2讲　三角恒等变换与解三角形 高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查. 1.（2021·全国乙卷）cos2－cos2＝（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　因为cos＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝cos ＝.故选D. 2.（2021·新高考Ⅰ卷）若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　法一　因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以或所以＝＝sin θ（sin θ＋cos θ） ＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C. 法二　因为tan θ＝－2， 所以＝ ＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝ ＝＝＝.故选C. 法三　因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ. 则＝ ＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝ ＝＝＝.故选C. 3.（2021·新高考Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C. （1）证明：BD＝b. （2）若AD＝2DC，求cos ∠ABC. （1）证明　因为BDsin∠ABC＝asin C， 所以由正弦定理得，BD·b＝ac， 又b2＝ac，所以BD·b＝b2， 又b>0，所以BD＝b. （2）解　如图，∠ADB＋∠BDC＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠BDC＝0， 因为AD＝2DC， 可得＋＝0， 即＋2·＝0， 即b2－c2－2a2＝0， 又因为b2＝ac， 所以2a2＋c2－ac＝0， 两边同除以c2得2·－·＋1＝0， 解得＝或＝， 若＝，即c＝3a，b＝a， a＋b＝（1＋）a<c（舍去）， 故＝， 所以cos ∠ABC＝＝ ＝＝. 4.（2020·北京卷）在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）a的值； （2）sin C和△ABC的面积. 条件①：c＝7，cos A＝－； 条件②：cos A＝，cos B＝. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 解　（从条件①②中任选一个即可） 若选条件①：∵a＋b＝11，∴b＝11－a， （1）在△ABC中，由余弦定理，得 cos A＝＝＝－， 解得a＝8. （2）∵cos A＝－，A∈（0，π）， ∴sin A＝＝＝. 在△ABC中，由正弦定理，得 sin C＝＝＝. ∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3， ∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6. 若选条件②： （1）∵A∈（0，π），B∈（0，π），cos A＝，cos B＝， ∴sin A＝＝＝， sin B＝＝＝. 在△ABC中，由正弦定理，可得 ＝＝＝. 又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5. （2）sin C＝sin[π－（A＋B）]＝sin（A＋B） ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝＝. ∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝. 1.三角函数公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin（α±β）＝sin αcos β±cos αsin β； cos（α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β； tan（α±β）＝. （2）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin（x＋φ），其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 （1）正弦定理 在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. （2）余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. （3）三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 热点一　三角恒等变换 【例1】 （1）已知sin α＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则β等于（　　） A. B. C. D. （2）（2021·成都诊断）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin 18°，若a2＋b＝4，则＝