5.1 直线与圆-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　直线与圆 高考定位　考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现. 1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为. 2.(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0 答案　D 解析　由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①， 得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)，半径为2. 如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小. 因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小. 又|PA|＝＝， 所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0. 由得所以P(－1，0). 易知P、A、M、B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为 x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②， 由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D. 3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案　ACD 解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4. 由题意知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0， 则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4， 所以直线AB与圆M相离， 所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋， 又4＋<5＋＝10，故A正确； 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4， 又－4<－4＝1，故B不正确； 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时，点P与N重合， |PB|＝＝＝3； 当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确.综上，选ACD. 4.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切. (1)求抛物线C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由. 解　(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限， 则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°， 所以P(1，1)，Q(1，－1). 设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)， 则1＝2p，得p＝， 所以抛物线C的方程为y2＝x. 由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1， 所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)直线A2A3与⊙M相切，理由如下： 设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)， 当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A1A2，A1A3均与⊙M相切，此时直线A2A3与⊙M相切. 当x1≠x2≠x3时，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 则＝1， 即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0， 同理可得(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0， 所以y2，y3是方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0的两个根， 则y2＋y3＝，y2y3＝. 直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0. 设点M到直线A2A3的距离为d(d＞0)， 则d2＝＝＝1，从而d＝r＝1， 所以直线A2A3与⊙M相切. 综上可得，直线A2A3与⊙M相切. 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. (2)点(x0，y0)