4.5 拓展优化 概率与统计的综合创新-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　概率与统计的综合创新 　随着新课程的推进改革，概率与统计命题情境新颖、综合性强，综合考查学生数学建模、数据分析与数学运算等数学素养，掌握该类问题的解题策略愈加重要． 【典例1】 2020年10月16日是第40个世界粮食日．与此同时，中国工程院院士袁隆平海水稻团队完成了10万亩海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地编号为YC－801的水稻亩产超过648.5千克．推广种植海水稻，能实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表： 质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100] 质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图． (1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率； (2)若从质量指标值m不低于85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望； (3)若每件产品的质量指标值m与利润Y(单位：元)的关系如下表(1<t<4)： 质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100] 利润Y/元 6t 8t 4t 2t －et 试分析生产该产品能否盈利．若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)． 解　(1)设事件A发生的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得随机抽取的1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C(0.3)3＝1－0.027＝0.973. (2)由频率分布直方图可知，质量指标值不低于85的产品中， m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4； m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2； m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1. 故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件． 从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润Y的关系如下表所示(1<t<4)： 质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100] 利润Y/元 6t 8t 4t 2t －et P 0.05 0.1 0.15 0.4 0.3 故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1<t<4)． 则y′＝2.5－0.5et(1<t<4)， 令y′＝0，得t＝ln 5. 故t∈(1，ln 5)时，y′>0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增； t∈(ln 5，4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减． 所以当t＝ln 5时，y取得最大值，为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5>0. 所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值1.5元． 点津突破　1.本题以“粮食安全”为背景考查统计与概率、随机变量及概率分布、函数与导数等知识，意在考查数学建模、数据分析与数字运算等核心素养． 2．解题的突破口是读懂题意，提炼图表信息，盯住题眼，构建概率分布及函数模型． 【典例2】 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn. (1)求p1，q1和p2，q2； (2)求2pn＋qn与2pn－1＋qn－1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)． 解　(1)p1＝·＝，q1＝·＝， p2＝··p1＋··q1＋0·(1－p1－q1) ＝p1＋q1＝， q2＝··p1＋·q1＋··(1－p1－q1)＝－q1＋＝. (2)当n≥2时，pn＝··pn－1＋··qn－1＋0