4.4 拓展优化 非线性回归问题-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　非线性回归问题 通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用．其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义，不仅培养学生数据分析、数学建模的数学素养，树立数学有用的意识，而且在现实生产生活中有着广泛的应用． 【典例】 奋斗“十四五”、奋进新征程，良好的开端是夺取全面建设社会主义现代化国家新胜利的关键．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划10年发展期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据，i＝1，2，…，10.通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： (xi－)2 (yi－)2 26 215 65 2 680 5.36 (ui－)2 (ui－)·(yi－) (vi－)2 (xi－)·(vi－) 11 250 130 2.6 12 (1)请从相关系数的角度分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(精确到0.01)； (ⅱ)若2022年计划投入研发资金25亿元，请根据(1)的选择预测2022年的盈利额为多少亿元(结果精确到0.01)． 参考公式：相关系数r＝， 线性回归方程＝＋x中，＝，＝－， 参考数据：e5.06≈157.60. 解　(1)设模型①对应的相关系数为r1，模型②对应的相关系数为r2， 由题意得 r1＝＝＝≈0.87， r2＝＝＝≈0.92. 则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度分析，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好． (2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程， 由y＝eλx＋t，得ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx， ＝＝≈0.18， ＝－＝5.36－×26＝0.56， 所以y关于x的线性回归方程为＝e0.18x＋0.56. (ⅱ)把x＝25代入＝e0.18x＋0.56， 则＝e0.18×25＋0.56＝e5.06≈157.60(亿元)， 所以预测2022年的盈利额约为157.60亿元． 点津突破　1.由图表计算相关系数加以比较，判断两函数模型拟合效果． 2．破解题目的关键：(1)会转化，把非线性回归方程转化为线性回归方程．本题中，通过取对数，把非线性回归方程转化为线性回归方程，求出线性回归系数，得出线性回归方程，最后转化为非线性回归方程．(2)准确计算，读懂题意，会预测预报变量的值． [跟踪演练] 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，我国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国这五年区块链企业总数量的相关数据，如下表所示： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 企业总数量y/千个 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 参考数据：yi＝74.691，xiyi＝312.761，zi≈10.980，xizi≈40.457，其中z＝ln y. 参考公式：对于样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝＝，＝－. (1)根据表中数据判断，y＝a＋bx与y＝cedx(其中e＝2.718 28…，为自然对数的底数)，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？(给出结果即可，不必说明理由) (2)根据(1)的结果，求y关于x的回归方程(结果精确到小数点后第三位)； (3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？ 解　(1)回归方程y＝cedx适宜预测未来几年我国区块链企业总数量． (2)对y＝cedx两边取自然对数，得ln y＝ln c＋dx， 令＝ln y，＝ln c，＝d，得＝＋x. ∵xi＝15，＝xi＝3，＝zi＝2.196， ∴＝＝≈0.752， ＝－＝2.19