4.2 概率、随机变量及其分布列-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第2讲　概率、随机变量及其分布列 高考定位　1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数学建模”将会不断加大考查力度. 1.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　将6个位置选2个排0，其余4个位置排1，共有n＝C×1＝15种排法， 把两个0排在4个1产生的5个空档有m＝C＝10种排法， 所以2个0不相邻的概率p＝＝＝. 2.(2021·全国乙卷)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设从区间(0，1)，(1，2)中随机取出的数分别为x，y，则实验的所有结果构成区域为Ω＝{(x，y)|0<x<1，1<y<2}，其面积为SΩ＝1×1＝1. 设事件A表示“两数之和大于”， 则构成的区域为A＝，如图阴影部分. 其面积SA＝1－××＝， 故所求事件A的概率P(A)＝＝. 3.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 解　(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 4.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解　(1)由题意知，X的所有可能取值为0，20，100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得 E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A)＝＝. (2)几何概型的概率公式. P(A)＝. (3)条件概率. 在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝. (4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B). (5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， P()＝1－P(A). 2.独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示