3.5 拓展优化 立体几何中的动态、最值问题-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　立体几何中的动态、最值问题 立体几何着重研究空间点、线、面之间的位置关系，几何图形折叠、剪拼、拆合等动态问题，涉及空间图形有关的线段、角、体积的最值，是高考命题的热点.求解的关键是在平面图形直观认识的基础上，分析动态问题，把握空间位置关系.题目能较好地考查学生的空间想象能力、逻辑推理与数学运算等数学素养. 【典例1】 在如图1所示的长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF，得到如图2中所示的四棱锥.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，垂足为K.设AK＝t，则t的取值范围是________. 思路点拨　设FC＝x(0<x<1)，利用勾股定理、面面垂直的性质定理和线面垂直的性质将t表示为关于x的函数，结合函数的单调性可得t的范围. 答案　 解析　过F作FM⊥AB，交AB于M，连接FK. 设FC＝x，0<x<1，则MF＝BC＝1，MB＝FC＝x， 易知AK<AD＝1，又AB＝2，所以K一定在M的左边，则MK＝2－t－x. 在Rt△ADK中，DK2＝1－t2， 在Rt△FMK中，FK2＝1＋(2－t－x)2. 因为平面ABD⊥平面ABCF，平面ABD∩平面ABCF＝AB，DK⊥AB，DK⊂平面ABD， 所以DK⊥平面ABCF，所以DK⊥FK. 在Rt△DFK中，DF＝2－x，DK2＋FK2＝DF2， 所以1－t2＋1＋(2－t－x)2＝(2－x)2， 化简得1－2t＋tx＝0，即t＝. 又因t＝在(0，1)上单调递增， 所以<t<1，故t的取值范围为. 点津突破　1.本题是一个动态的翻折问题，需要考生发现其中不变的垂直关系，从而得出相关变量间的关系，最终转化成函数的值域问题. 2.求解的关键是根据相关的定理对图形中位置关系进行精准判断，抓住不变量，另外注意变量x∈(0，1)的范围. 【典例2】 (2021·太原检测)已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________.设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________. 思路点拨　根据公式可求得圆锥的体积，将圆锥侧面展开，连接AB，A′B，则该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B. 答案　π　6 解析　该圆锥的高h＝＝2. 所以该圆锥的体积V＝×π×12×2＝π. 将圆锥侧面沿母线SA展开，如图所示. 因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA′＝. 由题意知点B是圆锥侧面展开后得到的扇形中弧AA′的中点， 连接AB，A′B，SB，则∠ASB＝，可得AB＝A′B＝AS＝3. 所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B＝6. 点津突破　1.求解圆锥侧面上质点运动路径的最短长度问题时，通常将圆锥侧面沿一条母线展开成扇形，在平面图形中分析、解决问题. 2.化曲为直是求解曲面上路径长度最短问题的关键，如本题，将曲面上A→B→A的路线转化为平面上A→B→A′的路线，则最短路径长度为AB＋A′B. 【典例3】 (2021·衡水调研)已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________. 思路点拨　四面体ABCD可以在圆锥中任意转动可以转化为四面体ABCD在圆锥的内切球内，当圆锥的侧面积最小时，内切球也是四面体ABCD的外接球，故先求出四面体ABCD外接球的半径，再求出圆锥底面圆的半径及母线长即可得解. 答案　 解析　根据题意，只需四面体ABCD在圆锥的内切球内. 下面求四面体ABCD的外接球半径. 如图所示，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，MC.取MN的中点O，连接OB. 根据题意，可得O为四面体ABCD外接球的球心，且MN⊥BC，CM⊥AD. 计算可得，CM＝＝，MN＝＝，ON＝MN＝，OB＝＝，可得四面体ABCD的外接球半径为. 当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为R＝，底面圆的半径为r＝×＝，母线长为×2＝. 所以侧面积为S＝π××＝. 点津突破　本题将“四面体可以在圆锥中任意转动”转化为“四面体在圆锥的内切球内”，又通过“侧面积最小”将圆锥的内切球问题转化为四面体的外接球问题，从而转化为如何确定四面体外接球的球心及半径问题.灵活运用转化思想是求解本题的关键. [跟踪演练] 1.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，有下面四个结论： ①DP的最小值为； ②DP的最小值为； ③AP＋P