3.4 规范答题示范课——立体几何解答题-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

规范答题示范课——立体几何解答题 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. (12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B－PC－E的余弦值. (1)证明　设DO＝a，由题设可得PO＝a，AO＝a， AB＝AC＝BC＝a，PA＝PB＝PC＝a.2分 因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.3分 又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC. 又PB，PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P， 所以PA⊥平面PBC.5分 (2)解　以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C，P.7分 所以＝，＝.8分 设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则 即 不妨取y＝1，得m＝.10分 由(1)知＝是平面PCB的一个法向量. 记n＝，则cos〈n，m〉＝＝. 因为二面角B－PC－E为锐角， 所以二面角B－PC－E的余弦值为.12分 ❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一定要写全.如第(1)问缺少PA＝PB＝PC＝a，遗漏PA⊥PB导致扣分，第(2)问建立空间直角坐标系O－xyz. ❷写明得分关键点：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问缺少PC∩PB＝P，或PB，PC⊂平面PAC等；第(2)问中不写公式cos〈m，n〉＝而得出余弦值都会各扣去1分. ❸正确计算是得分的保证：第(2)问中，向量，，两个半平面法向量的坐标及cos〈m，n〉的求值，否则不能得分. 1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点. (1)求证：C1M⊥B1D； (2)求二面角B－B1E－D的正弦值； (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值. 解　依题意，以C为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，3)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3). (1)证明　依题意，＝(1，1，0)，＝(2，－2，－2)， 从而·＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D. (2)依题意，＝(2，0，0)是平面BB1E的一个法向量， ＝(0，2，1)，＝(2，0，－1). 设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量， 则即 不妨设x＝1，可得n＝(1，－1，2). 因此有cos〈，n〉＝＝， 于是sin〈，n〉＝. 所以二面角B－B1E－D的正弦值为. (3)依题意，＝(－2，2，0). 由(2)知n＝(1，－1，2)为平面DB1E的一个法向量， 于是cos〈，n〉＝＝－. 所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为. 2.(2021·东北三省三校联考)在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足＝4. (1)证明：GF∥平面ABC； (2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A－BE－D的余弦值. (1)证明　分别取AB，EB的中点M，N，连接CM，MN，ND，在梯形ACDE中，DC∥EA，且DC＝EA，M，N分别为BA，BE的中点， ∴MN∥EA，且MN＝EA，∴MN∥CD，且MN＝CD， ∴四边形CDNM为平行四边形，∴CM∥DN， 又＝4，N为EB的中点，∴G为EN的中点. 又F为ED的中点，∴GF∥DN，得GF∥CM， 又CM⊂平面ABC，GF⊄平面ABC， ∴GF∥平面ABC. (2)解　在平面ABC内，过B作BH⊥AC，交AC于H， ∵平面ACDE⊥平面ABC，且平面ACDE∩平面ABC＝AC，BH⊂平面ABC. ∴BH⊥平面ACDE，则BH为四棱锥B－ACDE的高， 又底面ACDE的面积确定， ∴要使多面体ABCDE的体积最大，即BH最大，此时AB＝BC＝. ∴H为AC的中点，连接HF，易知HB，HC，HF两两垂直. 以H为坐标原点，分别以HB，HC，HF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的直角坐标系H－xyz