3.3 立体几何中的向量方法-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第3讲　立体几何中的向量方法 高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 1.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)求BC； (2)求二面角A－PM－B的正弦值. 解　(1)连接BD交AM于点E， 因为PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM， 又因为PB⊥AM，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD， 所以AM⊥平面PBD， 因为BD⊂平面PBD，所以AM⊥BD， 设BC＝x，因为M为BC的中点， 则BM＝MC＝BC＝x， 因为AB⊥AD，AM⊥BD，所以△DAB∽△ABM， 所以＝，即＝，解得x＝. 所以BC＝. (2)由题意DA，DC，DP两两互相垂直，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立如图空间直角坐标系. 所以A(，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，M， 所以＝(－，0，1)，＝， ＝(－，－1，1)，＝， 设平面APM的法向量m＝(x1，y1，z1)， 可得即 令y1＝1，得到所以m＝(，1，2)， 设平面BPM的法向量n＝(x2，y2，z2)， 所以即 令y2＝1，得到所以n＝(0，1，1)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝， 所以sin 〈m，n〉＝. 即二面角A－PM－B的正弦值为. 2.(2021·天津卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证：D1F∥平面A1EC1； (2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值； (3)求二面角A－A1C1－E的正弦值. (1)证明　以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2). 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2，1，0)，F(1，2，0)， 所以＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2). 设平面A1EC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即令x1＝2，则y1＝－2，z1＝1，即m＝(2，－2，1). 因为·m＝2－2＝0，所以⊥m. 因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1. (2)解　由(1)得，1＝(2，2，2). 设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，即直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为. (3)解　由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)， 则cos〈，m〉＝＝＝， 所以二面角A－A1C1－E的正弦值为＝. 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角计算 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ，则 cos θ＝＝. (2)线面所成的角 设直线l与平面α的所成的角为θ，则 sin θ＝＝|cosa，μ|. (3)二面角 设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cosμ，v|. 热点一　利用空间向量证明平行、垂直 【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明： (1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD. 证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1). (1)向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故·＝0. 所以BE⊥DC. (2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以