3.2 空间中的平行与垂直-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第2讲　空间中的平行与垂直 高考定位　1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 1.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　) A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 答案　A 解析　法一　连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D. 因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D， 所以AB⊥A1D， 又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1， 所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直. 在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB， 又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. 易知直线AB与平面BB1D1D成45°角， 所以MN与平面BB1D1D不垂直. 所以选项A正确.故选A. 法二　以点D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略).设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，1，0)，所以·＝－4＋0＋4＝0， 所以A1D⊥D1B. 又由图易知直线A1D与D1B是异面直线， 所以A1D与D1B异面且垂直. 因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以·n＝0，又MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以sin θ＝|cos〈，a〉|＝＝＝，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直.故选A. 2.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明： (1)当AB＝BC时，EF⊥AC； (2)点C1在平面AEF内. 证明　(1)如图，连接BD，B1D1. 因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD. 又因为BB1⊥平面ABCD， 于是AC⊥BB1. 又BD∩BB1＝B， 所以AC⊥平面BB1D1D. 由于EF⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC. (2)如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG. 因为ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1綊AA1， 所以ED1綊AG，于是四边形ED1GA为平行四边形， 故AE∥GD1. 因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1綊AA1，所以B1FGA1是平行四边形，所以FG綊A1B1，所以FG綊C1D1，四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1. 于是AE∥FC1.所以A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内. 3.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD； (2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积. (1)证明　因为PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD， 所以PD⊥AM. 又因为PB⊥AM，且PD，PB⊂平面PBD，且PD∩PB＝P， 所以AM⊥平面PBD. 又因为AM⊂平面PAM， 所以平面PAM⊥平面PBD. (2)解　因为PD＝DC＝1，所以AB＝1， 设BC＝AD＝2a，则BM＝a， 由(1)得AM⊥平面PBD，则AM⊥BD， 所以∠DAM＋∠ADB＝90°， 又因为四边形ABCD为矩形， 所以∠DAM＋∠BAM＝∠BAD＝90°， 所以∠ADB＝∠BAM， 又因为∠DAB＝∠ABM＝90°， 所以△DAB∽△ABM， 所以＝，即＝， 所以a＝，则BC＝AD＝2a＝， 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×1××1＝. 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l