3.1 空间几何体的三视图、表面积和体积-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　空间几何体的三视图、表面积和体积 高考定位　1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问. 1.(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　) 答案　D 解析　根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D. 2.(2021·北京卷)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 答案　B 解析　由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝＝50(mm)， 故V小圆锥＝×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5(mm)，属于中雨. 3.(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A.20＋12 B.28 C. D. 答案　D 解析　连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝. 4.(2021·北京卷)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据三视图知该四面体为三棱锥S－ABC，如图所示(其中正方体的棱长为1)，故S表＝3××1×1＋×()2＝. 5.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝. 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体和球的表面积公式： ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积S＝4πR2. (2)柱体、锥体、台体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； ②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)； ③V台体＝(S上＋S下＋)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)； ④V球＝πR3. 3.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为a，，a. 热点一　空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　) A.2 B.2 C.3 D.2 (2)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(　　) A.6＋ B.6＋2 C.12＋ D.12＋2 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4.则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2. (2)由三视图知该几何体为底面是边长为2的正三角形，高为2的直三棱柱，S底＝2××22＝2. S侧＝3×2×2＝12，则表面积为2＋12. 探究提高　1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【训练1】 (1)(2021·江西重点中学联考)如图所示，在三棱锥D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°，若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为(