2.5 拓展优化　数列中的奇、偶项问题-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　数列中的奇、偶项问题 1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确的奇偶项问题. 2.对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【典例1】 已知数列{an}满足a1＝1， an＋1＝记bn＝a2n， 求证：数列{bn}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式. 证明　∵bn＋1＝a2(n＋1)＝a2n＋1＋2n＋1－1＝a2n＋1＋2n ＝(a2n－2·2n)＋2n＝a2n＝bn， ∴{bn}为等比数列，且公比q＝. 又b1＝a1＝， 可得bn＝·＝， 所以，当n为偶数时，an＝b＝； 当n为奇数且n≥3时， an＝a(n－1)＋1＝an－1－2(n－1)＝b－2(n－1) ＝－2(n－1)， 可验证a1＝1也符合上式， 综上所述，an＝ 【典例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n. (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式. 解　(1)∵a1＝1，an＋1＋an＝4n， ∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100) ＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99) ＝4×502＝10 000. (2)由题意，an＋1＋an＝4n，① an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，② 由②－①得，an＋2－an＝4， 由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3. 当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1， 当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1. 综上所述，an＝2n－1. 【典例3】 数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前100项和S100； (2)若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式. 解　(1)∵{an}为等差数列，且a1＝1，a2＝2， ∴公差d＝1，∴an＝n. ∴bn＝ 即bn＝ ∴bn的前100项和 S100＝(b1＋b3＋…＋b99)＋(b2＋b4＋…＋b100) ＝50＋(5＋9＋13＋…＋201) ＝50＋50×5＋×4＝5 200. (2)由题意得，b1＝a2－a1＝1，公差d＝2， ∴bn＝2n－1. ∴ 由②－①得，a2n＋1＋a2n－1＝2， ∴a2n＋1＝2－a2n－1， 又∵a1＝1，∴a1＝a3＝a5＝…＝1， ∴a2n－1＝1，∴a2n＝4n－2， 综上所述，an＝ 【典例4】 在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. (1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn. 解　(1)因为an·an＋1＝， 所以an＋1·an＋2＝， 所以＝，即an＋2＝an. 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以＝＝＝， 所以数列{bn}是公比为的等比数列. 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，b1＝a1＋a2＝， 所以bn＝×＝，n∈N*. (2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列， 所以a2n－1＝，a2n＝， 所以an＝ (3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＋＝3－， 又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－， 所以Sn＝ [跟踪演练] 1.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A.200 B.－200 C.400 D.－400 答案　B 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 2.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*. (1)求a3； (2)求S1＋S2＋…＋S100. 解　(1)令n＝4，则S4＝a4－，∴S3＝－. 令n＝3，则S3＝－a3－， ∴a3＝－S3－＝－. (2)当n＝1时，a1＝－； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n·an－－(－1)n－1·an－1＋ ＝(－1)n·an＋(－1)n·an－1＋， 即an＝(－1)n·an＋(