2.4 拓展优化　构造法求数列的通项公式-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

拓展优化　构造法求数列的通项公式 已知数列的递推关系求解通项公式是命题的热点，题目很好地考查学生逻辑推理与数学运算核心素养.一般地，对于递推式形如an－an－1＝manan－1(n≥2，m为常数，m≠0)，an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠1且A≠0)和bn＋2＝mbn＋1－(m－1)bn(m为常数，m≠1且m≠0)的数列，可以通过将递推式进行适当的变形，构造出等差数列或等比数列，从而求得原数列的通项公式. 【典例1】 (2021·安庆质检)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋ln 3(n≥2)，则数列{an}的通项an＝________. 思路点拨　本题中的递推式形如an＝Aan－1＋B，可在两边加上构造等比数列，从而求解问题. 答案　(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*) 解析　这里A＝2，B＝ln 3，＝ln 3. 因此由an＝2an－1＋ln 3得到an＋ln 3＝2(an－1＋ln 3). 则{an＋ln 3}是以a1＋ln 3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋ln 3＝(1＋ln 3)·2n－1， 因此an＝(1＋ln 3)·2n－1－ln 3(n∈N*). 点津突破　1.求解的关键是由递推关系构造等比数列{an＋ln 3}，进而求出数列{an}的通项公式. 2.形如an＋1＝pan＋f(n)(p为常数，p≠1且p≠0，f(n)≠0)的递推式，可向an＝Aan－1＋B的形式转化，即将原递推式变形为＝p·＋1.比如由an＋1＝－2an＋3n＋1得到＝－·＋1，构造等比数列，由此求出an. 【典例2】 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn，并判断是否存在正整数n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由. 思路点拨　(1)利用递推式Sn＋1－2Sn＝1构造等比数列求得Sn，进而得an；(2)运用错位相减法求得Tn，构造函数f(x)＝2x－x－26(x≥1)，借助导数工具及f(5)·f(4)<0可判断出n不存在. 解　(1)因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2. 因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2， 所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. 所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式. 故an＝2n－1，n∈N*. (2)易得bn＝＝， 则Tn＝＋＋…＋， 所以Tn＝＋＋…＋. 两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝2－. 即Tn＝4－，代入Tn·2n－1＝n＋50得，2n－n－26＝0. 令f(x)＝2x－x－26(x≥1)，则f′(x)＝2xln 2－1>2xln －1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)上为增函数. 而f(5)·f(4)<0，故不存在正整数n使得Tn·2n－1＝n＋50成立. 点津突破　1.本题中的Sn＋1－2Sn＝1属于线性递推式an＝Aan－1＋B(n≥2，A，B是常数，B≠0，A≠0且A≠1)的形式，可以转化、构造出一个等比数列{Sn＋1}，求Sn，进而求出{an}的通项公式. 2.题目将数列、函数导数交汇在一起，考查学生综合解决问题的能力. 【典例3】 在各项均不为0的数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an，求数列{an}的通项. 思路点拨　由S＝an及an＝Sn－Sn－1(n≥2)，消去an得Sn－1－Sn＝2SnSn－1，进而构造等差数列，求出Sn，进而求数列{an}的通项. 解　当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，将其代入S＝an， 可得S＝(Sn－Sn－1)＝S－Sn－SnSn－1＋Sn－1， 整理化简，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1. 又易知Sn≠0，得－＝2. 故是首项为＝＝1，公差为2的等差数列. 因此＝＋2(n－1)＝2n－1，则Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－ ＝－. 经验证a1＝1不符合上式， 故数列{an}的通项为an＝ 点津突破　1.形如an－an－1＝manan－1的形式，两边除以anan－1，构造等差数列求和. 2.本题虽然符合an－an－1＝manan－1的形式，但Sn，Sn－1分别表示数列{an}的前n项与前n－1项的和，必须进一步利用公式an＝求通项an. [跟踪演练] 1.数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)，令bn＝log3(an＋1)，则bn＝________. 答案　n 解析　由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)