2.3 规范答题示范课——数列解答题-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

规范答题示范课——数列解答题 求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳，对于非等差或等比数列，可从特殊情景出发，归纳出一般性的方法、规律；将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解. (12分)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，且q≠1， 依题意，2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.2分 所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.4分 故{an}的公比为－2.5分 (2)记Sn为{nan}的前n项和. 依题意及(1)知，{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1，7分 所以Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.9分 两式相减，得 3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n ＝－n·(－2)n，11分 所以Sn＝－.12分 ❶写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问中，写出2a1＝a2＋a3及公比q≠1. ❷写明得分关键点：数列解答题要严谨，如第(2)问“首先明确指出数列{an}的首项和公比(基本量)，求出an＝(－2)n－1，再写出Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·(－2)n－1. ❸计算正确是得分的保证：如第(1)问正确求得公比q＝－2，第(2)问求出an＝(－2)n－1及前n项和Sn＝－，否则不能得分. 1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和. 解　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 因为bn＝a2n， 所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*. (2)因为an＋1＝ 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1，① a2k＋1＝a2k＋2，② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300. 2.已知数列{an}与{bn}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn(n∈N*)，若{an}是各项为正数的等比数列，且a1＝2，b3＝b2＋4. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝(n∈N*)，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：Tn＜1. (1)解　由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2bn，① 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2bn－1，② ①－②可得an＝2(bn－bn－1) ⇒a3＝2(b3－b2)＝2×4＝8， ∵a1＝2，an＞0，设{an}的公比为q， ∴a1q2＝8⇒q＝2， ∴an＝2×2n－1＝2n(n∈N*). ∴2bn＝21＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2， ∴bn＝2n－1(n∈N*). (2)证明　由已知cn＝＝＝－， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋ ＝1－， 当n∈N*时，2n＋1＞1， ∴＞0，∴1－＜1，故Tn＜1. $