2.2 数列求和及综合应用-2022高考理科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第2讲　数列求和及综合应用 高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 1.(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　A 解析　法一　因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得 两式相除， 得q2＝，所以或 所以S6＝＝7.故选A. 法二　易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A. 2.(2020·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 解　(1)由a1＝3，an＋1＝3an－4n，得a2＝5，a3＝7. 猜想an＝2n＋1.证明如下： 由an＋1＝3an－4n，得an＝3an－1－4n＋4(n≥2)， 则an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]. 又a1＝3，知a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0， 则an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n， 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1， 所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 3.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1. 解　(1)设{an}的公比为q(q>1). 由题设得解得或(舍去). 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1 ＝(－1)n－122n＋1， 故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1 ＝＝－(－1)n. 1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝ (2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误. 2.数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 温馨提醒　裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 3.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题. 热点一　数列求和 考向1　分组转化法求和 【例1】 已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2， 则4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去). 则an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)bn＝＋2log2an－1＝＋2log22n－1＝＋2n－1， 则数列{bn}的前n项和 Sn＝＋(1＋3＋…＋2n－1) ＝＋n(1＋2n－1)＝1－＋n2. 探究提高　1.分组转化求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝且数列{an}，{bn}可分别求和，则采用分组求数列{cn}的前n项和.(3)若数列的通项式中有(－1)n等特征，根据正号、负号分组求和. 考向2　裂项相消法求和 【例2】 (2021·“五个一”联盟)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝