解三角形专题：三角形中最值范围问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

解三角形专题：三角形中最值范围问题 一、求最值范围问题的预备知识： 1、正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。 2、余弦定理： 3、三角形的面积公式： （1）（为三角形的底，为对应的高） （2）， 4、三角形内角和定理： （1）正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） （2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。 5、两角和与差的正、余弦公式： 6、降幂公式： 7、辅助角公式：，其中 8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值 二、三角形中的最值范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 题型一 与面积有关的最值范围问题 【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【变式1-1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 【变式1-2】在中，内角A，B，C所对的边长分别为. （1）求角C； 【变式1-3】在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，则______；若，则面积的最大值为______． 【变式1-4】在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 【变式1-5】在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 题型二 与边长有关的最值范围问题 【例2】设锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，． （1）若，求c的值； （2）求的最大值． 【变式2-3】在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的最大值. 【变式2-4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，.已知. （1）求角的大小. （2）若，求的取值范围. 【变式2-5】在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______． 题型三 与周长有关的最值问题 【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 【变式3-1】已知在中，角，，的对边分别为，，，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【变式3-2】(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． （1）求A； （2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 【变式3-3】在中，在线段上，且，，. （1）若，求的面积； （2）求的周长的最大值。 【变式3-4】在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB． （1）求角C的大小； （2）若c＝，求△ABC周长的取值范围． 【变式3-5】在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且. （1）求的大小； （2）若，求的周长的取值范围. 题型四 与角或角的函数有关的三角函数最值问题 【例4】已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【变式4-1】在中，内角、、的对应边分别为、、.已知. （1）若，求. （2）求的取值范围. 【变式4-2】在中，内角，，的对边分别为，，，的面积记为，满足 ． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【变式4-3】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0． （1）求角B的大小； （2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范围． 【变式4-4】已知锐角中，角，，所对的边分别是，，， （1）求角的大小； （2）求的取值范围 【变式4-5】在中，，