9.3 平行四边形-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 9.3 平行四边形 目标导航 课程标准 课标解读 1.探究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分； 2.探究并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题； 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算。 知识精讲 知识点01 平行四边形的概念与性质 （一）平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。 （二）平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【微点拨】 （1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【即学即练1】如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 【即学即练2】如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分． (1)如图1，若，，求CD的长； (2)如图2，若G为EF上一点，且，求证：． 知识点02 平行四边形的判定与平行线间的距离 （三）平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【微点拨】 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. （四）平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 【即学即练3】下面是小东设计的“作平行四边形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B＝45°；②在∠B的两边上分别截取BA＝2cm，BC＝3cm．③以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D；则四边形ABCD为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵AB＝ ，CB＝ ， ∴四边形ABCD为所求的平行四边形（ ）（填推理的依据）． 【即学即练4】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F． (1)求证：四边形DEBF为平行四边形； (2)若，，，求的面积． 能力拓展 考法01 平行四边形的性质 【典例1】如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上的一个动点（点与、不重合），过点作轴于点，轴于点，点的坐标为，连接． （1）求直线所对应的函数关系式； （2）设动点的横坐标为，的面积为． ①当为何值时，； ②写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ③求使得四边形是平行四边形时的点的坐标． 考法02 平行四边形的判定 【典例2】如图①，点B是∠MAN的边AM上的定点，点是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE． （1）若∠A＝50°，求∠BCE的度数； （2）如图②，当BC＝AC时， ①求证：四边形ABEC是平行四边形； ②若AB＝15，