专题15 几何探究题-备战2022年中考数学母题题源解密（河南专用）

专题15 几何探究题 【母题来源】2021年河南中考数学卷 【母题题文】下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1，（1）分别在射线 ， 上截取 ， （点 ， 不重合）；（2）分别作线段 ， 的垂直平分线 ， ，交点为 ，垂足分别为点 ， ；（3）作射线 ，射线 即为 的平分线．简述理由如下： 由作图， ， ， ，所以 ，则 ，即射线 是 的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2．（1）分别在射线 ， 上截取 ， （点 ， 不重合）；（2）连接 ， ，交点为 ；（3）作射线 ，射线 即为 的平分线． …… 任务： （1）小明得出 的依据是 ．（填序号） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． （2）小军作图得到的射线 是 的平分线吗？请判断并说明理由； （3）如图3，已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，且 ．点 ， 分别为射线 ， 上的动点，且 ，连接 ， ，交点为 ，当 时，直接写出线段 的长． 【答案】（1）⑤；（2）小军作图得到的射线 是 的平分线，理由见解析；（3）OC=2或 【试题解析】 【分析】 （1）根据证明三角形全等的HL定理解答即可； （2）根据作图过程可证明△EOD≌△FOC，则有∠OED=∠OFC，进而证明△CEP≌△DFP，可得PE=PF，易证的△EOP≌△FOP，则有∠EOP=∠FOP，即可得出小军作图得到的射线 是 的平分线； （3）分两种情况进行讨论，① ,② ；当 ，作射线OP，易知OP是∠AOB的平分线即∠POE=30°，根据△EOP≌△FOP和 可求得∠OEP=45°，过P作PH⊥OA于H，易求得PH=HE=1，OP=2，PE= ，证明△OEP∽△PEC，根据相似三角形的性质求得CE的长，进而由OC=OE﹣CE求解即可；当 ，连接OP，作PM⊥OA，同理可得 ， ，即，OE=OP， ，再利用特殊角的三角函数即可求出MP和MO，即可求得答案． 【详解】 解：（1）根据小明作图所阐述的理由，他用到是HL定理证明 ， 故选：⑤； （2）小军作图得到的射线 是 的平分线，理由为： 在△EOD和△FOC中， ∴△EOD≌△FOC（SAS）， ∴∠OED=∠OFC， ∵OC=OD，OE=OF， ∴CE=DF， 在△CEP和△DFP中， ， ∴△CEP≌△DFP（AAS）， ∴PE=PF， 在△EOP和△FOP， ， ∴△EOP≌△FOP（SSS）， ∴∠EOP=∠FOP， 即射线 是 的平分线； （3）①当 时， 作射线OP，由（2）可知OP是∠AOB的平分线， ∴∠POE= ∠AOB=30°， ∵ ， ∴ ∵△EOP≌△FOP， ∴∠OPE=∠OPF= （360°﹣∠FPE）=105°， ∴∠OEP=180°﹣∠POE﹣∠OPE=45°， 过P作PH⊥OA于H， 则HP=HE， OP=2HP=2HE， ∴ PE= HE， OH= = HP= HE， ∵OE=OH+HE=( +1)HE= +1， ∴HE=1， ∴PE= ， ∵∠POE=∠CPE=30°，∠OEP=∠PEC， ∴△OEP∽△PEC， ∴ 即 ， 解得：CE= ， ∴OC=OE﹣CE=2． ②当 时， 连接OP，作PM⊥OA，则 , 同理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 综上所述，OC的长为2或 ． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 【命题意图】几何探究题是河南中考必考的！几何探究题主要考查了学生分析问题能力、解决问题能力和动手操作能力，此类题都是由易到难，步步升华。 【命题方向】几何探究题作为试卷压轴题考查。2020年之前常考的是手拉手类比探究，但是2021年是有关作角平分线的几何探究题，总的来说考查知识点全等和相似的判定是没变的。 【得分要点】 三角形全等的判定 相似三角形模型 8字形模型 8字形 反8字形 A字形模型 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Roaming\\Tencent\\Users\\724445333\\QQ\\WinTemp\\RichOle\\568P_U]81X{)SAKSR6UUZ_C.png" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Roaming\\Tencent\\Users\\724445333\\