6.1-6.2 计数原理与排列组合 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)

计数原理与排列组合 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ① 分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法. ② 分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法. ③ 分类计数原、理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． Eg 小芳要去，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去呢？显然是种方式. 2排列 ① 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. ② 排列数 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示.其中 或 ③ 阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘 规定． 3 组合 ① 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. ② 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 ③ 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？ 一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？ 显然问题，的答案是，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. 从个元素中取出个元素的排列(排列数) 可以理解为分为两步： 第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到 ③ 组合数的性质 ① 规定: ② (比如，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等) ③ (从个中抽出个抽不到元素的组合数抽到元素的组合数) ④ (，) PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！ 【题型一】 计数原理 【典题1】本不同的书，任选本分给个学生，每人一本有多少种不同的分法？ 将封信投入个邮筒，有多少种不同的投法？ 名运动员争夺项比赛冠军(每项比赛无并列冠军)，那获得冠军有多少种可能? 名运动员报名参加项比赛，每人只能参加一项，那有多少种报名方法？ 【解析】本不同的书，任选本分给个学生的意思等价于三位学生在本不同的书上选本书， (可想象下：你是老师，要完成一件事情：安排三个学生去拿书，具体如下) 先让学生去拿书，从本书中任选一本有种选法， 再让学生去拿书，从余下的本书中任选一本有种选法， 最后让学生去拿书，从剩下本书供选择有种选法. 由分步计数原理知：共有种选法. (2)(想象你是个邮差，你要把四封信放在三个邮筒里，那你会如何投信呢？) 完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有种选择，即每一封信都有种投法.由分步计数原理知：共有种. (3)(现在你是颁奖嘉宾，拿着个冠军奖牌给个运动员) 完成这件事分步进行，每一步颁一个奖，都有种不同的可能.由分步计数原理知：共有种方法. (4)(这次你是教练，你带着运动员去报名) 完成这件事分步进行，每一步是运动员去报名，都有种不同的可能.由分步计数原理知：共有种方法. (不可假设让比赛项目去挑运动员，否则同一运动员会出现报名多个比赛，是错的) 【点拨】 ① 利用计数原理，要先明确你是要分类还是分步； ② 作类似题目可通过想象，想象自己是某个角色去“完成对应的事项”，同时给到对应事物“名称”有助于你的思考. ③ 问题一用到排列组合其实就是或；问题二-四属于“可重复的排列”，它允许一个邮筒里放多封信，一个运动员夺到多个冠军，一个比赛有多个运动员参加. 【典题2】 某广场中心建造一个花圃，花圃分成个部分(如图)，现有种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有________种．(用数字作答) 【解析】 你想象自己是园丁，现在去按要求栽种花，先给不同部分标数字，按照①--⑤顺序栽种，由于②④是否同色会影响到⑤的颜色选择，故要分类讨论， 分两类： 一 ②、④同色 第一步：①可用种颜色； 第二步：②可用剩下的种颜色； 第三步：③可用剩下的种颜色； 第四步：④与②同色，则种颜色选择； 第五步：①、②、④使用了两种颜色，则⑤还有种颜色选择， 即种方法； 二 ②、④不同色 第一步：①可用种颜色； 第二步：②可用剩下的种颜色； 第三步：③可用剩下的种颜色； 第四步：④与②不同色，则种颜色选