专题03方法篇：求数列前n项的和（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题03 求数列的前n项和 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1、（2022·天津·耀华中学高二期末）等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（ ） A． B．387 C． D．297 【变式训练1-1】、（2022·安徽芜湖·高二期末）数列满足，则数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 例2、（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前101项和． 【变式训练2-1】、（重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题）已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设．记数列的前n项和为，求． 考点二、并项求和（分组求和） 例3、（2022·广西北海·高二期末）在等差数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【变式训练3-1】、（2022·河南驻马店·模拟预测（理））已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn， 考点三、裂项相消法 例4、（福建省漳州市2022届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题）已知正项等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【变式训练4-1】、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列的前项和. 考点四、错位相减法 例5、（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【变式训练5-1】、（2022·山西晋中·高二期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 求数列的前n项和 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1、（2022·天津·耀华中学高二期末）等比数列中，，，成公差不为0的等差数列，，则数列的前9项和（ ） A． B．387 C． D．297 【答案】B 【解析】 【分析】 先设等比数列的公比为，结合条件可知，由等差数列的中项可知，利用等比数列的通项公式进行化简求出，最后利用分组求和法，以及等比数列和等差数列的求和公式，即可求出数列的前9项和. 【详解】 解：设等比数列的公比为， ，，成公差不为0的等差数列，则，，都不相等， ，且， ，， ，即，解得：或（舍去）， ，所以数列的前9项和： . 故选：B. 【变式训练1-1】、（2022·安徽芜湖·高二期末）数列满足，则数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和. 【详解】 依题意得：， ， ， 故选：D． 例2、（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前101项和． 【答案】(1) (2)192 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式基本量计算出首项和公差，求出通项公式；（2）解不等式得到，当时，，当时，，当时，，从而求出前101项和. (1) 设公差为d，，又，故 ，即，所以，解得：或0（舍去），求得：，数列的通项公式为； (2) ，令得：，令，解得：，令，解得：，当时， 故 当时，， 当时，， 当时，， 设的前n项和为，所以. 【变式训练2-1】、（重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题）已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设．记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得的通项公式. （2）利用并项求和法，结合三角函数的知识求得. (1) 设等差数列的首项为，公差为， 则， 结合可解得，所以. (2) ， ， ， ， ， ， ，……以此类推， 的最小正周期， ， 所以. 考点二、并项求和（分组求和） 例3、（2022·广西北海·高二期末）在等差数列中， (1)求数列的通项公式； (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）