专题02方法篇：求数列的通项公式（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题02 方法篇：求数列的通项公式 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1、（2022·江苏省天一中学高二期末）（多选题）设数列的前n项和为，，，则（ ） A．是等比数列 B．是单调递增数列 C． D．的最大值为12 【变式训练1-1】、（2022·安徽·六安一中高二期末）设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________． 例2、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列的前项和. 【变式训练1-2】、（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，． (1)求{}的通项公式： (2)设，数列的前n项和为，求． 考点二、累加法与累乘法 例3、（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则___________. 【变式训练3-1】、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________． 例4、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列中，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围. 【变式训练4-1】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 考点三、已知前n项和，求通项公式 例5、（2021·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设，，求数列{cn}的前n项和Tn． 【变式训练5-1】、（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式训练5-2】、（2022·全国·高三专题练习）数列满足， (1)求的值； (2)求数列前项和； (3)令，，证明：数列的前项和满足． 考点四、构造新数列 例6、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前项的和. 例7、（2022·山西太原·高三期末（文））已知数列中，，. (1)求、、，并证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式训练6-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列满足 (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【变式训练7-1】、（2022·安徽六安·一模（理））设数列的前项和为，已知，. (1)设，，证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $专题02 方法篇：求数列的通项公式 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1、（2022·江苏省天一中学高二期末）（多选题）设数列的前n项和为，，，则（ ） A．是等比数列 B．是单调递增数列 C． D．的最大值为12 【答案】CD 【解析】 【分析】 由题设，结合等差、等比数列的定义和性质判断A、B；进而求出的通项公式，根据的二次函数性质求最值判断C、D. 【详解】 由题设知：，故是等差数列且递减，又， 所以，且， 当或，的最大值为12. 综上，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 【变式训练1-1】、（2022·安徽·六安一中高二期末）设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________． 【答案】52 【解析】 【分析】 根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答. 【详解】 依题意，因是等差数列，则其公差， 于是得，， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故答案为：52 例2、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立. (1) 解：设等差数列的公差为，则，解得， 因此，. (2) 证明：， 因此， . 故原不等式得证. 【变式训练1-2】、（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列}的公差为整数，为其前n项和，，． (1)求{}的通项公式： (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意利用等差数列的性质列出方程