1.2等边三角形(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.2等边三角形 等边三角形的定义和性质 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°，三边都相等，也具有“三线合一”的性质． 注意： （1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 题型1：等边三角形与角度计算 1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（　　） A．25° B．60° C．90° D．100° 【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∠DBC＝40°， ∴∠ADB＝40°+60°＝100°， 故选：D 【变式1-1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　） A．90° B．120° C．180° D．无法确定 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵图中是三个等边三角形， ∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB， ∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°， 故选：C． 【变式1-2】如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在△ABC外，AD＝AE．若∠BAD＝20°，∠DAE＝70°，求∠CAE和∠CDE的度数． 【分析】由等边△ABC，∠BAD＝20°，可得∠DAC＝40°，而∠DAE＝70°，即得∠CAE＝30°；根据AD＝AE，得∠ADE＝∠AED＝，又∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝80°，即得∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝25°． 【解答】解：∵在等边△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝60°， 又∵∠BAD＝20°，∠DAE＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣20°＝40°， ∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°； ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝， 又∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+20°＝80°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝80°﹣55°＝25°． ∴∠CAE＝30°；∠CDE＝25° 题型2：等边三角形与长度、周长计算 2.如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度． 【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC＝30°，AD＝CD＝AC，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝CD＝AC，∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴CE＝AC＝3， ∴BE＝BC+CE＝6+3＝9 【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长． 【分析】设CD＝x，则BC＝16﹣x，利用勾股定理即可列出方程． 【解答】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝8， ∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝150°， ∴∠BDC＝90°， ∵AD+AB+BC+CD＝32， ∴BC+CD＝16， 设CD＝x，则BC＝16﹣x， 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°， 由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2， 即64+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6 ∴BC＝16﹣x＝10，CD＝6 【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，若AE＝1，求：△EFC的周长． 【分析】首先根据等边三角形的性质计算出∠ADE＝30°，再根据直角三角形的性质可得AD＝2AE＝2，进而可得AB的长，再次求出CE的长，再证明△EFC为等边三角形，从而可得答案． 【解答】解：在Rt△ADE中，∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， 又AE＝1， ∴AD＝2AE＝2， ∵D为AB的中点，∴AB＝AC＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣1＝3， ∵EF∥AB， ∴∠EF