1.1等腰三角形(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.1等腰三角形 等腰三角形的定义及性质 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形中重要线段的性质 　　等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等. 注意：这条性质，还可以推广到一下结论： （1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. （3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 题型1：等腰三角形中有关角度的计算题 1．已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（　　） A．100° B．80° C．80°或100° D．40° 【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角． 【解答】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100° 三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°， 所以100°只可能是顶角． 故选：A 【变式1-1】如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，于是得到∠C＝2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C＝3∠B＝180°﹣∠BAC＝41°，根据得到结论． 【解答】解：∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B， ∴∠C＝2∠B， ∵∠BAC＝57°， ∴∠B+∠C＝3∠B＝180°﹣∠BAC＝41°， ∴∠ADC＝∠C＝82°， ∴∠DAC＝16° 【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可； 【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC， ∵AB＝AD，在三角形ABD中， ∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°， 又∵AD＝DC，在三角形ADC中， ∴∠C＝＝77°×＝38.5° 题型2：等腰三角形角度计算中的分类讨论 2.等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（　　） A．70° B．70°或40° C．70°或55° D．55° 【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°， 若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 若这个角为底角，则另一个底角也为70°， ∴其一个底角的度数是55°或70°． 故选：C 【变式2-1】如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 　40°或140°或100°　． 【分析】分三种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形，高为腰上的高时；当等腰三角形为钝角三角形，高为底上的高时；即可求出顶角∠BAC． 【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴三角形的顶角为40°； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝140° ∴三角形的顶角为140°； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图3， ∵AB＝AC，∠BAD＝50°，AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝100°， ∴三角形的顶角为100°． 综上，三角形的顶角为40°或140°或100°． 故答案为：40°或140°或100° 题型3：等腰三角形的周长问题 若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（　　） A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm 【分析】分14cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【解答】解：①14cm是腰长时，底边为：30﹣14×2＝2cm， 三角形的三边长分别为14cm、14cm、2cm， 能组成三角形， ②14cm是底边长时，腰长为：×（30﹣14）＝8cm， 三角形的三边长分别8cm、8cm、14cm， 能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是14cm或8