6.2 空间向量的坐标表示-【固本培优系列】2021-2022学年高二数学下学期同步精品培优讲义(苏教版2019选择性必修第二册)

第六章 空间向量与立体几何 6.2空间向量的坐标表示 【必备知识】 知识点1:空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量 不共面,那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组 ,使得 . 2.基底与基向量 如果三个向量 不共面, 那么所有空间向量组成的集合就是 EMBED Equation.DSMT4 .这个集合可看作由向量 生成的，我们把 叫做空间的一个基底. 都叫做基向量. 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 表示. 【典例1】 (多选题)设 是空间的一个基底,则下列结论正确的是 ( ) A. 可以为任意向量 B. 对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组 ,使 C. 若 ,则 D. 可以作为构成空间的一个基底. 【解析】 选项: 为不共面的非零向量; B选项: 由空间向量基本定理知,空间任一向量 ,存在唯一有序实数组 EMBED Equation.DSMT4 ,使 ; 选项: 由 推不出a, c垂直; D选项: 中三个向量间无法找到实数 ,使得它们之间有 等式成立, 即三个向量不共面,所以 可以作为构成空间的一个基底 知识点2:空间向量的坐标表示 1.空间向量的坐标 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标,即若 ,则 , . 2.空间向量的坐标运算 设 ,则 ① 的模为 . ②两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和,即 . ③两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差,即 . ④数乘向量所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标,即 EMBED Equation.DSMT4 . ⑤两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和,即 EMBED Equation.DSMT4 3.空间向量的数量积与夹角公式 设非零向量 ,则 .夹角公式是根据向量数量积的定义 推出的.注意 的范围是 ,当 时, 两向量的位置关系分别是同向共线,垂直,反向共线. 【典例2】设向量 .求: (1) ; (2) ; (3) (4) . 【解析】(1) EMBED Equation.DSMT4 . (2) EMBED Equation.DSMT4 . (3) . (4)因为 EMBED Equation.DSMT4 , 所以 . 【典例3】若 ， ，且 ， 的夹角的余弦值为 ，则 等于（ ） A．2 B． C． 或 D．2或 【答案】C 【详解】 解：因为 ， ， 所以 ， 解得： EMBED Equation.DSMT4 或 . 故选：C. 知识点3:空间向量常用结论的坐标表示 1.空间向量平行(共线)的充要条件 设 ,则 , . 2.空间向量垂直的充要条件 设非零向量 ,则 3.空间中分点坐标公式 设 ,若点 满足 ,且 ),则点 的坐标为 .特别地,当 时, 是AB的中点,此时点 的坐标为 . 4. 三角形的重心坐标公式 若三角形A B C的顶点坐标分别为 , ,则其重心坐标为 . 【典例3】已知 ， . (1)当 时，求实数 的值; (2)当 时，求实数 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：因为 ， ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 解得 ； (2)因为 ， 所以 ， 所以 ， 解得 . 【过关检测】 一、单选题 1．已知命题 若 ， ，则 ；命题 若 ， ，则 .下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：命题 若 ， ， 可知 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 命题 是真命题； 又命题 若 ， ， ，则 与 不垂直， 命题 是假命题． EMBED Equation.DSMT4 为真命题． 故选：D. 2．已知向量 ，则下列向量中与 成 的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 试题分析：对于A选项中的向量 ， ，则 ； 对于B选项中的向量 ， ，则 ； 对于C选项中的向量 ， ，则 ； 对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 .故选B. 3．如图，在三棱锥 中，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，设 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，连接 ， 因为点 ， 分别是 ， 的中点， 所以 . 因为点 是 的中点， 所以 . 因为点 是 的中点， 所以 ， 则 . 故选：D. 4．已知O为坐标原点，向量 ，点 .若点E在直线 上，且 ，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解： 点E