第一章微专题3 构造全等三角形的七种常用方法(高效课堂)-2021-2022学年八年级下册数学【探究在线】高效课堂(北师大版)教用

探究在线高堂导：半 第一章三角形的证明 微专题3构造全等三角形的七种常用方法 一专题解读 类型三旋转法 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F 在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中 为CD边上一点，BE+DF=EF,求∠EAF的 添加一些辅助线使题目中的条件集中，能比较容易 找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解 度数. 决.常见的辅助线作法有：翻折法、补形法、旋转法、 解：如图，延长CB到点H, 倍长中线法、截长（补短）法、作垂线法和作平行线 使BH=DF,连接AH. 法，目的都是构造全等三角形. ∠ABE=90°，∠D=90°， 一一专题训练 ∴.∠D=∠ABH=90°. B 类型一翻折法 在△ABH和△ADF中， 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD AB=AD. ⊥BE,垂足为D.求证：∠2=∠1十∠C. ∠ABH=∠D=90°， 证明：如图，延长AD交BC BH=DF, 于点F.(相当于将AB边向 .△ABH≌△ADF. 下翻折，与BC边重合，A点 ,AH=AF,∠BAH=∠DAF. 落在F点处，折痕为BD) ,·BE平分∠ABC, ∴.∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF, B ·∠ABE=∠CBE. 即∠HAF=∠BAD=90°. ',BDAD,.∠ADB=∠BDF=90°. ,'BE十DF=EF, 在△ABD和△FBD中， ,∴.BE+BH=EF,即HE=EF. ∠ABD=∠FBD, 在△AEH和△AEF中， BD=BD. (AH=AF, ∠ADB=∠FDB=90°， RAE-AE. .△ABD≌△FBD(ASA)..∠2=∠DFB. ∠DFB=∠1+∠C,∴，∠2=∠1+∠C. EH=EF, .△AEH≌△AEF..∠EAH=∠EAF 类型二补形法 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ∠EAF=号∠HAF=45 点D为BC的中点，CE⊥AD于点E,其延长线 交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC= 类型四倍长中线法 BDF. 证明：如图，过点B作BG⊥BC 4.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC, 交CF的延长线于点G,则 点M为BC的中点，求证：DE=2AM. ∠CBG=90° 证明：延长AM至点N,使MN ∠ACB=90° =AM,连接BN. ·∠2+∠ACF=90° 点M为BC的中点， .CEAD,..∠AEC=90°， .BM=CM. ∴.∠1+∠ACF=90°.∴.∠1=∠2. 在△ACD和△CBG中， 在△AMC和△NMB中， ∠1=∠2， AM=NM, AC=CB. ∠CMA=∠BMN, ∠ACD=∠CBG=90°， CM-BM. ·△ACD≌△CBG(ASA) .△AMC≌△NMB(SAS) .∠ADC=∠G,CD=BG 点D为BC的中点，∴.CD=BD.BD=BG. .AC=BN=AD,∠C=∠NBM. ,∠ACB=90°，AC=BC,.∠DBF=45 ∴.∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C 又：∠DBG=90°，·∠GBF=∠DBG-∠DBF =180°-∠BAC=∠EAD. =90°-45=45°..∠DBF=∠GBF. 在△ABN和△EAD中， 在△BDF和△BGF中， AB-=EA. BD=BG, ∠ABN=∠EAD, ∠DBF=∠GBF, BN=AD. BF=BF. .△BDF≌△BGF(SAS) ..△ABN≌△EAD(SAS). .∠BDF=∠G..∠ADC=∠BDF. .'DE=NA=2AM. 23 八年级数学（下）·BS 类型五截长（补短）法 (1)如图①，若A(1,0),B(0,3),求C点坐标； 5.问题背景： (2)如图②，若A(1,3),B(-1,0),求C点坐标； 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD (3)如图③，若B(-4,0),C(0,一1)，求A点坐标. =120°，∠B=∠ADC=90°.点E,F分别是BC, 解：(1)如图①，过点C作CD⊥x轴，垂足为D, CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE, 则∠CAD+∠ACD=90° EF,FD之间的数量关系. ,∠BAC=90°，.∠BAO+∠CAD=90°. G ∴.∠BAO=∠ACD. ∠AOB=∠CDA, 在△ABO和△CAD中， ∠BAO=∠ACD, AB=CA. ∴.△ABO≌△CAD(AAS). .BO=AD,OA=CD. 图① 图② (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到 A(1,0),B(0,3),∴.OA=1,OB=3. ..AD=3.CD=1...OD=0A+AD=4. 点G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE .C(4,1) ≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可