第06讲 复数的三角表示 (核心考点讲与练)-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第6讲复数的三角表示 (核心考点讲与练) 一 、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝， 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝，sin θ＝. 因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z 二 、复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． (3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]. 考点一：复数的三角表示 例1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）. A． B． C． D． 例2．（2021·全国·高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）. A． B． C． D． 例3．（2021·全国·高一课时练习）已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例5．（2021·全国·高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ） A． B． C． D． 例6．（2021·全国·高一课时练习）是著名的欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例7．（2021·江苏·徐州市第一中学高一期中）已知为复数，且为纯虚数，则（ ） A． B．的实部为0时， C．的最大值为3 D． 例8．（2021·全国·高一课时练习）在复平面上，A、B表示复数、对应的点，若，则______． 例9．（2021·全国·高一课时练习）若复数的辐角主值是，求实数a的值． 例10．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释． 例11．（2021·全国·高一课时练习）已知 （1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值； （2）若，求（用表示）.注：是辐角主值. 例12．（2021·上海师大附中高一期末）已知，且，若． （1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； （2）求． 例13．（2021·全国·高一课时练习）设，求的取值范围． 例14．（2021·上海·高一单元测试）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求. 考点二：复数乘、除运算的三角表示 及其几何意义 例1．（2021·北京交通大学附属中学分校高一期末）复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2．（2021·上海·高一课时练习）复数等于（ ） A． B． C． D． 例3．（2021·上海交大附中高一期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 例4．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示). 例5．（20