第04讲 复数的概念（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）

第4讲复数的概念(核心考点讲与练) 一、复数的概念 1.虚数单位： 1）满足； 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立． 3）与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是． 4）i的周期性：，，，．于是就有． 2.数系的扩充：复数 3.复数的定义： 基本概念：形如（）的数叫复数，称为复数的实部，称为复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式． 4.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系： 对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数． 5.两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，， ，那么且．特殊地，当时，． 6.复数模的性质： 1）； 2）； 3）； 4）． 7.共轭复数： 定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 数的性质：设，则（1）；（2）；（3）． 二、复数的几何意义 1.共轭复复平面、实轴、虚轴： 概念:复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2.几何表示：复数复平面内的点或向量是向量的几何表示． 注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量应特别注意它是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数多个． 考点一：数系的扩充和复数的概念 例1．（2021·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ） A．8 B． C．0 D．8或0 例2．（2022·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ） A． B． C． D． 例3．（2021·全国·高一课时练习）请说出下列复数的实部和虚部． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数（），且，求k的值. 例5．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例6．（2021·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值： (1)； (2)． 例7．（2021·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？ 例8．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）当实数m分别为何值时， (1)复数是：实数？虚数？ (2)复数纯虚数？ 例9．（2021·全国·高一课时练习）设△ABC的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1=a+bi，z2=cosA+icosB，若复数z1·z2为纯虚数，试判断△ABC的形状，并说明理由. 例10．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）已知，复数. （1）当为何值时，复数为实数？ （2）当为何值时，复数为虚数？ （3）当为何值时，复数为纯虚数？ 考点二：复数的几何意义 例1．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ） A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 例2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）设复数，则复数的模为（ ） A． B． C． D． 例3．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 例4．（2022·全国·高一）若复数为纯虚数，则（ ） A． B．13 C．10 D． 例5．（2022·全国·高一）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 例6．（2021·全国·高一课时练习）设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个． 例7．（2021·全国·高一课时练习）已知复数的实部为1，，则______． 例8．（2021·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______． 例9．（2022·全国·高一）已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________. 例10．（2