第三章 专题5 正方形-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ 177 ∴△FQD≌△HQD(ASA).∴FQ=HQ. ∵四边形ABCD 是菱形,∴HD∥BF. ∴∠AHQ=∠BFQ,∠HAQ=∠FBQ. ∴△AHQ≌△BFQ(AAS). ∴AQ=BQ. (4题图1) (2)如图2,连接PQ. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠BAP=∠DAP,PA=PC,AC⊥BD. ∴∠APB=∠APD=90°. ∵∠BAD=120°,∴∠BAP=∠DAP=60°. ∴∠ABP=30°.∴PA= 1 2AB. ∵AQ=BQ,∠APB=90°,∴PQ= 1 2AB. ∴PA=PQ.∴△APQ 是等边三角形. ∴∠APQ=∠PQA=60°. ∵∠MPN=60°,∴∠APQ=∠MPN. ∴∠QPM=∠APN. ∵∠PQM=∠PAN=60°, ∴△PQM≌△PAN(ASA). ∴QM=AN. ∵AB=AD=DN+AN,∴AB=DN+QM. (4题图2) 专题5 正方形 3.5.1 正方形的判定与性质 金题试做 解:(1)∵四边形ABCD 是菱形, ∴DA=DC=AB=BC,∠DCA=∠BCA=∠BAC. ∵GD=GC,∴∠DCA=∠GDC. ∴∠DGC=180°-2∠DCA,∠B=180°-2∠BCA. ∴∠B=∠DGC. (2)如图,过点G 作GP⊥AG 交AE 于点P,连接GB. ∵EF⊥GD,GP⊥AG,∴∠DGE=∠AGP=90°. ∴∠PGE=∠AGD. ∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD 是正方形. ∴∠DAP=∠DAB=90°,AD=AB. ∴∠DAP=∠DGE=90°. 由“8”字形可知,∠E=∠ADG. ∵AC 是正方形ABCD 的对角线, ∴∠BAC=45°.∴∠GAP=∠BAC=45°. ∵∠AGP=90°,∴∠GPA=∠GAP=45°. ∴GP=GA.∴△EPG≌△DAG(AAS). ∴GE=GD,PE=AD. ∵AG=AG,∠GAD=∠GAB=135°,AD=AB, ∴△GAD≌△GAB(SAS). ∴GD=GB,∠ADG=∠ABG. ∴GB=GD=GE,∠E=∠ABG. ∵∠E+∠EFB=90°,∠ABG+∠GBF=90°, ∴∠GBF=∠EFB.∴GB=GF. ∴GE=GF=GD. ∴GD= 1 2EF ,G 为EF 的中点. ∵∠DGF=90°,∴∠GDF=45°. ∵∠GDF+∠DGC=∠GCF+∠DFC,∠GDF= ∠GCF=45°, ∴∠DGC=∠DFC. (例题图) 对点集训 1.C 2.B 3.A 4.解:(1)证明:如 图,过 点 E 作EM ⊥BC 于 点 M, 八年级 下册 RJ178 EN⊥CD 于点N. ∴ ∠DNE= ∠FME=90°,∠MEN =90°,CA 平 分 ∠BCD. ∵E 为对角线AC 上的一个动点,∴EM=EN. ∵∠DEF=90°, ∴∠DEN=∠FEM=90°-∠FEN. 在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE=∠FME, EN=EM, ∠DEN=∠FEM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△DEN≌△FEM(ASA).∴ED=EF. ∵四边形DEFG 是矩形,∴矩形DEFG 是正方形. (4题图) (2)①CE⊥CG.理由如下: ∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形, ∴DE=DG,AD=CD,∠ADC=∠EDG=90°. ∵∠CDG+∠CDE=90°,∠ADE+∠CDE=90°, ∴∠CDG=∠ADE. 在△ADE 和△CDG 中, AD=CD, ∠ADE=∠CDG, DE=DG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADE≌△CDG(SAS).∴∠DAE=∠DCG. ∵∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°,∠ADC=90°, ∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°. ∴CE⊥CG. ②2 5.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠ABE=90°. ∵MN⊥AE,∴∠AFM=90°. ∴∠AEB+∠BAE=90°,∠AMN+∠BAE=90°. ∴∠AEB=∠AMN. (2)证明:∵F 是AE 的中点,∴FA=FB=FE. ∴∠FAB=∠FBA. 令∠FAB=α,则∠FBG=∠ABG-∠ABF=45°-α. ∴∠FGB=∠AMF-∠ABG=90°-α-45°=45°-α. ∴∠FBG=∠FGB.∴FB=FG. (3)如图,连接GA,GE,GC,过点G 作GQ⊥CD 于 点Q,GR⊥BC 于点R,连接 ME. ∵DG=42,∴GQ= 2 2DG=4. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=CB,∠ABG=∠CBG=45°. 又BG=BG,∴△ABG≌△CBG(SAS).∴GA=GC. ∵MN⊥AE,F 为AE 的中点,∴MN 垂