第三章 专题4 菱形-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ 175 ∵DE=AD,∴AD=CF. ∵DE∥CF,∴∠AHE=∠ACF. ∵∠BAD=45°-∠DAH=45°-(90°-∠AHE)= ∠AHE-45°,∠BCF=∠ACF-45°, ∴∠BAD=∠BCF. 又AB=BC,∴△ABD≌△CBF(SAS). ∴BD=BF,∠ABD=∠CBF. ∴∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC, 即∠ABC=∠DBF=90°. 在Rt△DBF 中,∵BD=BF,DM=MF, ∴BM=DM,BM⊥DM. (7题图) 专题4 菱形 3.4.1 菱形的性质与判定 金题试做 3 10 对点集训 1.5 2.①④ 3.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠ADB=∠CBD. ∵DB 平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB. ∴∠CBD=∠CDB.∴BC=CD. ∴四边形ABCD 是菱形. (2)证明:由(1),知四边形ABCD 是菱形. ∴AB=AD=CD. ∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形. ∴∠BCD=∠A=∠ABD=60°,BD=AB=CD. ∴∠EBD=∠FCD=120°. ∵∠EDF=60°,∴∠FDC+∠EDC=60°. ∵∠BDC=∠EDB+∠EDC=60°, ∴∠FDC=∠EDB. ∴△CDF≌△BDE(ASA). ∴CF=BE. (3)如图,过点D 作DH⊥BC 于点H. ∴∠CHD=90°. ∵AB=2BE,BE=2,CF=BE, ∴AB=CD=4,CF=2. ∵∠BCD=∠A=60°,∴∠CDH=30°. ∴CH= 1 2CD=2. ∴HD= CD2-CH2 = 42-22 =2 3,FH = CF+CH=4. 在Rt△FHD 中,根据勾股定理,得 FD= FH2+HD2= 42+(23)2=27. (3题图) 3.4.2 菱形的综合探究 对点集训 1.解:如图,过点B 作BH⊥AD 交DA 的延长线于点 H,延长BC,EF 交于点N. ∵∠BAD=120°,∴∠BAH=60°.∴∠ABH=30°. ∴AH= 1 2AB ,BH= 3 2AB. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD,AD∥BC. ∵AE= 1 4AD ,AH= 1 2AB ,∴HE=AE. 设HE=AE=a,则AD=4a,BH=23a,DE=5a. 在Rt△BHE 中,根据勾股定理,BH2+HE2=BE2. ∴(23a)2+a2=(4 13)2.解得a=4. ∴BC=AD=16,DE=20. ∵F 是CD 的中点,∴DF=CF. 八年级 下册 RJ176 ∵AD∥BC,∴∠D=∠FCN. 又∠DFE=∠CFN,∴△EDF≌△NCF(ASA). ∴DE=CN=20,EF=NF.∴F 是EN 的中点. ∴BN=BC+CN=36. ∵G,F 分别是BE,EN 的中点, ∴FG= 1 2BN=18. (1题图) 2.解:(1)GF=BF. 证明:∵E 是AB 的中点,∴EA=EB. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD∥BC. ∴∠A+∠B=180°. ∵∠B=60°,∴∠A=120°. 由翻折,得AD=GD,EA=EG,∠A=∠DGE=120°. ∴∠EGF=∠B=60°,EA=EB=EG. 如图,过点E 作EM⊥GF 于点 M,EN⊥FB 于点 N,连接EF. ∴∠EMG=∠ENB=90°.∴△GME≌△BNE(AAS). ∴ME=NE,MG=NB. 又EF=EF,∴Rt△MEF≌Rt△NEF(HL). ∴MF=NF. ∴MG+MF=NB+NF,即GF=BF. (2题图) (2)如图,过点D 作DH⊥BC 交BC 的延长线于点H. 由(1),知GF=BF. 令GF=BF=x,则CF=BC-BF=4-x,DF= DG+GF=4+x. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠DCB=∠A=120°. ∴∠DCH=60°.∴∠HDC=30°. ∴CH= 1 2CD=2. ∴DH = CD2-CH2 = 42-22 =2 3,HF= HB-BF=6-x. 在Rt△DHF 中,根据勾股定理,HF2+DH2=DF2. ∴(6-x)2+(23)2=(4+x)2.解得x=1.6. ∴CF=BC-BF=4-1.6=2.4. 3.解:(1)如图,过点E 作EQ⊥BC 于点Q. 由翻折,得∠BCE=∠FCE,BC=FC,BE=FE. ∵CF⊥AD,∴∠AHF=90°. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AD∥BC,AB∥CD. ∴∠BCF=∠AHF=90°.∴∠BCE=∠FCE=45°. ∵CE=122,∴EQ=CQ=12. ∵BE=13,∴BQ= BE2-EQ2= 132-122=5. ∴BC=BQ+CQ=5+12=17. ∴菱形的边长为17. (3题图) (2)证