第三章 专题3 活用直角三角形斜边上的中线-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ172 3.2.4 倍长线段构造中位线 金题试做 证明:如图,连接AF并延长至点M,使FM=FA,连接CM. ∵F 是CD 的中点,∴DF=CF. 在△ADF 和△MCF 中, DF=CF, ∠DFA=∠CFM, FA=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ADF≌△MCF(SAS). ∴∠D=∠FCM,AD=MC. ∵AD∥BC,∴∠D+∠BCD=180°. ∴∠FCM+∠BCD=180°. ∴点B,C,M 共线. ∵E,F 分别是AB,AM 的中点, ∴EF 是△ABM 的中位线. ∴EF= 1 2BM= 1 2 (MC+BC)= 1 2 (AD+BC), EF∥BC. ∵AD∥BC,∴EF∥AD∥BC. (例题图) 对点集训 1.5 2.3 3.6 3.2.5 连接第三边构造中位线 金题试做 解:四边形EFGH 为平行四边形.理由如下: 如图,连接AC,BD. ∵E,F,G,H 分别是线段AB,CB,CD,AD 的中 点,∴HG 为△DAC 的中位线,EF 为△BAC 的中 位线,HE 为△ABD 的中位线,GF 为△CBD 的中 位线. ∴HG∥AC,EF∥AC,HE∥BD,GF∥BD. ∴HG∥EF,HE∥GF. ∴四边形EFGH 为平行四边形. (例题图) 对点集训 1. 5 2 2. 3 2 3.证明:如图,连接BC. ∵E,F 分别为AB,AC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线. ∴EF∥BC,EF= 1 2BC. 同理,GH∥BC,GH= 1 2BC. ∴EF∥GH,EF=GH. ∴四边形EFHG 是平行四边形. (3题图) 专题3 活用直角三角形斜边上的中线 金题试做 证明:(1)如图,连接OE. ∵AE=EF,O 是AF 的中点,∴EO⊥AF. ∵M 为CE 的中点,∴OM= 1 2CE. (2)如图,连接BM. ∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ACB=45°. ∵∠ABC=90°,M 为CE 的中点, ∴BM= 1 2CE=MC. 八年级 下册 RJ 173 ∴OM =BM,∠OMB = ∠OME + ∠BME = 2(∠ACE+∠BCE)=90°. ∴OB= OM2+BM2= 2OM. (例题图) 对点集训 1.证明:如图,连接 ME,MD. ∵BD 和CE 是△ABC 的高,M 为BC 的中点, ∴MD=ME= 1 2BC. ∵P 为DE 的中点,∴PM⊥DE. (1题图) 2.解:如图,连接AC,取AC 的中点E,连接OE,PE. (2题图) ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°. ∵AB=4,BC=25, ∴AC= AB2+BC2= 42+(25)2=6. ∵O 为AB 的中点,∴AO=OB. ∵AE=EC,∴OE 是△ABC 的中位线. ∴OE= 1 2BC= 1 2×25= 5. ∵AP⊥CP,∴PE= 1 2AC= 1 2×6=3. 由三角形的三边关系可得,当O,E,P 三点共线时, OP 的长度最大. ∴OP最大=3+ 5. 3.证明:(1)如图,连接DE. ∵AD⊥BC,E 是AB 的中点, ∴DE 是Rt△ABD 的斜边上的中线. ∴DE=BE= 1 2AB. ∵DC=BE,∴DC=DE. 又DG⊥CE,∴GE=GC. ∴G 是CE 的中点. (3题图) (2)由(1),知BE=DE=DC. ∴∠B=∠BDE,∠DEC=∠DCE. ∴∠B=∠BDE=2∠BCE. 4.证明:(1)在△ADE 中,∵AD=AE,F 是DE 的中 点,∴AF 是等腰△ADE 的底边DE 上的中线. ∴AF⊥DE. (2)如图,连接GC. ∵AF⊥DE,H 是AC 的中点, ∴FH 是Rt△AFC 的斜边AC 上的中线. ∴FH= 1 2AC. 同理,GH= 1 2AC. ∴FH=GH. (4题图) 5.解:(1)证明:如图1,延长CM,DB 交于点N. ∵∠ABD=∠ACE=90°, ∴CE∥BD.∴∠CEM=∠NDM. ∵M 为DE 的中点,∴ME=MD. 八年级 下册 RJ174 又∠CME=∠NMD,∴△CME≌△NMD(ASA). ∴CM=NM. ∵∠CBN=90°, ∴BM 是Rt△CBN 的斜边上的中线. ∴MB=MC. (5题图1) (2)MB=MC 成立.理由如下: 如图2,取AD,AE 的中点F,G,连接BF,MF,MG,CG. ∵M 为DE 的中点,∴MG,MF 都是△ADE 的中位线. ∴MG∥AD,MF∥AE,MG= 1 2AD ,MF= 1 2AE. ∴四边形 MFAG 是平行四边形. ∴∠MFA=∠AGM. ∵∠ABD=∠ACE=90°, ∴BF= 1 2AD=MG ,CG= 1 2AE=MF. ∵∠BAD=∠CAE,∴∠BD