第三章 专题2 构造三角形中位线-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ170 ∴BC=AC,∠ACB=60°. ∵CD=CE,∴△EDC 是等边三角形. ∴∠EDC=∠DEC=60°. ∴∠BDE=∠FEC=120°,∠DEC=∠AEF=60°. ∵EF=AE,∴△AEF 是等边三角形. ∴AE=FE=AF. ∵CD=CE,∴BC-CD=AC-CE,即BD=AE. ∴BD=FE. 在△BDE 和△FEC 中, DE=EC, ∠BDE=∠FEC, BD=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BDE≌△FEC(SAS). (2)四边形ABDF 是平行四边形.理由如下: 由(1),知△AEF 和△CED 都是等边三角形. ∴∠AFE=∠FDC=60°.∴AF∥BD. ∵AF=AE=BD, ∴AF∥BD 且AF=BD. ∴四边形ABDF 是平行四边形. 专题2 构造三角形中位线 3.2.1 连接中点构造中位线 金题试做 证明:如图,连接DF,DE. ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°. ∵D 为AB 的中点,F 为AC 的中点,E 为BC 的 中点, ∴DF∥BC,DF= 1 2BC ,DE∥AC,DE= 1 2AC. ∴∠ADF = ∠B =60°,∠BDE = ∠A =60°, DF=DE. ∴∠EDF=180°-60°-60°=60°. ∵△DPM 是等边三角形, ∴∠PDM=60°,DP=DM. ∵∠FDM=∠PDM-∠PDF=60°-∠PDF, ∠EDP=∠EDF-∠PDF=60°-∠PDF, ∴∠FDM=∠EDP. 在△DFM 和△DEP 中, DF=DE, ∠FDM=∠EDP, DM=DP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△DFM≌△DEP(SAS). ∴MF=PE. (例题图) 对点集训 1.解:EF= 3PF. 证明:如图,连接PE,过点P 作PG⊥EF 于点G. ∵P,E 分别为BD,AB 的中点, ∴PE∥AD,PE= 1 2AD. ∴∠ADP+∠EPD=180°.∴∠EPD=75°. ∵F,P 分别为CD,BD 中点, ∴PF∥BC,PF= 1 2BC. ∴∠DPF=∠DBC=45°. ∴∠EPF=75°+45°=120°. ∵AD=BC,∴PE=PF.∴∠PEF=∠PFE=30°. ∵PG⊥EF,∴EF=2FG,PG= 1 2PF. 在Rt△PFG 中,根据勾股定理,得FG= 3 2PF. ∴EF= 3PF. (1题图) 八年级 下册 RJ 171 3.2.2 取中点构造中位线 金题试做 证明:如图,取DC 边的中点M,连接EM,FM. ∵M,F 分别是DC,BC 的中点, ∴MF∥BD,MF= 1 2BD. 同理,ME∥AC,ME= 1 2AC. ∵AC=BD,∴ME=MF.∴∠MEF=∠MFE. ∵MF∥BD,∴∠MFE=∠OHG. 同理,∠MEF=∠OGH. ∴∠OGH=∠OHG. (例题图) 对点集训 1. 3 2 2. 13 3.解:(1)如图,取BD 的中点P,连接EP,FP. ∵E,F 分别是AD,BC 的中点,AB=6,CD=8, ∴PE∥AB,PE= 1 2AB=3 ,PF∥CD,PF= 1 2CD=4. ∵∠ABD=30°,∠BDC=120°, ∴ ∠EPD = ∠ABD = 30°,∠DPF = 180°- ∠BDC=60°. ∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°. 在Rt△EPF 中,根据勾股定理,得 EF= PE2+PF2= 32+42=5. (3题图) (2)证明:由(1),得PE∥AB,PE= 1 2AB ,PF∥CD, PF= 1 2CD. ∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC. ∴∠DPF=180°-∠BPF=180°-∠BDC. ∵∠BDC-∠ABD=90°,∴∠BDC=90°+∠ABD. ∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°- ∠BDC=∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°. ∴PE2+PF2= 12AB 2 + 12CD 2 =EF2. ∴AB2+CD2=4EF2. 3.2.3 角平分线+垂线构造中位线 金题试做 22 对点集训 1.6 2.4.5 3.2.5 4.证明:(1)如图,延长AD 交BC 于点F. ∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠FDC=90°. ∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD. 在△ACD 和△FCD 中, ∠ADC=∠FDC, DC=DC, ∠ACD=∠FCD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ACD≌△FCD(ASA). ∴AC=FC,AD=FD.∴D 为AF 的中点. 又E 为AB 的中点,∴DE 为△ABF 的中位线. ∴DE∥BC. (4题图) (2)由(1),知AC=FC,