第二章 专题8 勾股定理与夹半角模型-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ164 (2)如图2,作∠PAD=120°交CP 的延长线于点D. ∵∠BAC=120°,∴∠BAC+∠CAP=∠PAD+ ∠CAP,即∠BAP=∠CAD. ∵∠BPC=∠BAC=120°,∴∠ABP=∠ACD. 又AB=AC,∴△ABP≌△ACD(ASA). ∴PB=DC,PA=DA. 过点A 作AE⊥DC 于点E. ∴∠AED=90°. ∵∠PAD=120°,PA=DA, ∴∠APD=∠D=30°,DE=PE= 1 2PD. ∴AE= 1 2PA. 设AE=m,则PA=2m. 在Rt△PAE 中,根据勾股定理,AE2+PE2=PA2, 即m2+PE2=4m2.∴PE= 3m. ∴PD=23m.∴PD= 3PA. ∵PD=DC-PC=PB-PC,∴PB-PC= 3PA. (2题图2) 专题8 勾股定理与夹半角模型 2.8.1 90°夹45° 金题试做 证明:如图,作∠BCD=∠ACM,并截取CD=CM,连 接BD,DN. ∵△ABC 为等腰三角形,∠ACB=90°, ∴BC=AC,∠ABC=∠A=45°. 在△BCD 和△ACM 中, BC=AC, ∠BCD=∠ACM, CD=CM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BCD≌△ACM(SAS). ∴BD=AM,∠DBC=∠A=45°. ∴∠DBA=∠DBC+∠ABC=90°. ∴BD2+BN2=DN2. ∵ ∠BCD = ∠ACM,∴ ∠BCD + ∠BCM = ∠ACM+∠BCM,即∠DCM=∠ACB=90°. ∵∠MCN=45°,∴∠DCN=∠MCN=45°. 又CD=CM,CN=CN,∴△CND≌△CNM(SAS). ∴DN=MN. ∴AM2+BN2=MN2. (例题图) 对点集训 1.10 2.25 3.解:MN2=AM2+BN2.理由如下: 如图,作∠ACP=∠BCN,并截取CP=CN,连接 AP,MP. ∴∠PCN=∠ACB=90°. 又AC=BC,∴△ACP≌△BCN(SAS). ∴∠PAC=∠ABC,AP=BN. ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠CAB=∠B=∠PAC=45°. ∴∠PAB=∠PAC+∠CAB=90°. ∴∠PAM=90°. ∵∠MCN=45°,∠PCN=90°, ∴∠MCP=∠PCN-∠MCN=90°-45°=45°. ∴∠MCP=∠MCN. 又CP=CN,CM=CM, ∴△MCP≌△MCN(SAS). ∴MP=MN. 在Rt△APM 中,MP2=AM2+AP2. ∴MN2=AM2+BN2. (3题图) 八年级 下册 RJ 165 2.8.2 120°夹60° 金题试做 证明:如图,将△CAE 绕点A 顺时针旋转120°得到 △BAF,连接DF. ∴∠EAF=120°,△CAE≌△BAF. ∴AE=AF,CE=BF,∠AEC=∠AFB. ∵∠BAC=120°,∠DAE=60°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=30°,∠DAF=∠DAE=60°. 又AD=AD,∴△DAF≌△DAE(SAS). ∴DF=DE,∠AFD=∠AED=45°. ∴∠AFB=∠AEC=135°. ∴∠BFD=∠AFB-∠AFD=90°. ∴BD2=BF2+DF2. ∴BD2=CE2+DE2. (例题图) 对点集训 1.CD=2BE 2.解:如图,将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到 △ACF,连接EF,过点E 作EM⊥CF 于点M. ∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF. ∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠ACB=30°. ∵∠BAC=120°,∠DAE=60°, ∴∠BAD+∠CAE=60°. ∴∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°. ∴∠DAE=∠FAE. 又AE=AE,∴△ADE≌△AFE(SAS). ∴DE=FE=33. ∵∠ACF=∠B=30°, ∴∠ECM=∠ACB+∠ACF=60°. ∵EM⊥CF,∴∠CEM=30°.∴CM= 1 2CE. 设CM=x,则CE=2x,EM= CE2-CM2= 3x. ∵BD=2CE,BD=CF,∴BD=CF=4x. ∴FM=CF-CM=4x-x=3x. 在Rt△EFM 中,∵FE=33,FM=3x,EM= 3x, ∴EF2=FM2+EM2,即(33)2=(3x)2+(3x)2. 解得x= 3 2 或x=- 3 2 (不合题意,舍去). ∴BD=4x=6. (2题图) 2.8.3 2α°夹α° 对点集训 1.7 2.2或23 3.解:(1)90°; 10 (2)①直角三角形 ②EF=BE+DF.理由如下: 如图,将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转,使 AB 与AD 重合,得到△ADG. ∴BE=DG,AE=AG,∠DAG=∠