第二章 专题7 勾股定理与旋转-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ 161 ∵AO=BO,∴PO=OB=OA= 1 2AB=2. ∵∠AOC=120°,∴∠AOP=60°. ∴△PAO 为等边三角形. ∴AP=AO=2. (3题图3) ④当点P 在AB 上方,∠APB=90°时,如图4. ∵AO=BO,∴PO=OB=OA= 1 2AB=2. ∵∠AOC=120°,∴∠POB=60°. ∴△PBO 为等边三角形. ∴BP=OB=2. 在Rt△ABP 中,根据勾股定理,得 AP= AB2-BP2= 42-22=23. (3题图4) 综上所述,AP 的长为2或23或27. 专题7 勾股定理与旋转 2.7.1 遇等边三角形→旋转60° 金题试做 解:∵△ABC 为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB. 如图,将 △BPC 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 60°得 到 △BDA,连接PD. ∴△BDP 为等边三角形. ∴∠DPB=60°,DP=DB=BP=4,DA=PC=5. ∵PA=3,∴DA2=DP2+PA2.∴∠APD=90°. ∴∠APB=∠APD+∠DPB=150°. (例题图) 对点集训 1.AD2+DC2=BD2 2.解:(1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=60°,AB=AC. 如图 1,将 △ABP 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 60°得 到 △ACD,连接PD. ∴∠DAP=60°,AD=AP,PB=DC. ∴△ADP 为等边三角形. ∴PD=PA,∠APD=60°. ∵∠APC=30°, ∴∠APD+∠APC=90°,即∠DPC=90°. ∵在Rt△DCP 中,PD2+PC2=DC2, ∴PA2+PC2=PB2. (2题图1) (2)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°,AB=CB. 如图 2,将 △BPC 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 60°得 到 △BDA,连接PD. ∴∠DBP=60°,DB=PB,DA=PC=2. ∴△BDP 为等边三角形. ∴PB=DB=PD,∠BAD=∠BCP. ∵∠ABC+∠APC=60°+60°=120°, ∴∠BAP+∠BCP=360°-(∠ABC+∠APC)= 360°-120°=240°. ∵∠BAD=∠BCP,∴∠BAD+∠BAP=240°. 八年级 下册 RJ162 ∴∠DAP=360°-(∠BAD + ∠BAP)=360°- 240°=120°. 过点D 作DE⊥PA 交PA 的延长线于点E. ∴∠DEP=90°,∠DAE=60°.∴∠ADE=30°. ∴AE= 1 2DA=1. ∴EP=PA+AE=7. 在Rt△ADE 中,根据勾股定理,得 DE= AD2-AE2= 22-12= 3. 在Rt△DEP 中,根据勾股定理,得 PD= DE2+EP2= (3)2+72=2 13. ∴PB=PD=2 13. (2题图2) 2.7.2 遇等腰直角三角形→旋转90° 对点集训 1.解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴如 图,将 △APC 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 90°得 到 △BDC,连接PD. ∴∠PCD=90°,PC=CD=4,BD=PA=6. ∴∠CPD=∠PDC=45°. 在Rt△PCD 中,根据勾股定理,得 PD= PC2+CD2= 42+42=42. 在△PDB 中,∵PD2+PB2=(4 2)2+22=36, BD2=36, ∴PD2+PB2=BD2.∴∠DPB=90°. ∴∠CPB=∠CPD+∠DPB=45°+90°=135°. (1题图) (2)如图,过点C 作CE⊥BP 交BP 的延长线于点E. ∴∠CEP=90°. ∵∠CPB=135°,∴∠CPE=45°. ∴∠ECP=∠CPE=45°.∴EC=EP. 设EC=EP=x. 在Rt△ECP 中,根据勾股定理,EC2+EP2=PC2. ∴x2+x2=16. 解得x=22(负值不合题意,舍去). ∴EC=EP=22.∴EB=EP+PB=22+2. 在Rt△ECB 中,根据勾股定理,得 BC2=EC2+EB2=(22)2+(22+2)2=20+82. ∴S△ABC= 1 2AC ·BC= 1 2BC 2= 1 2× (20+82)= 10+42. 2.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴如 图,将 △ACD 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 90°得 到 △BCE,连接DE. ∴DC=EC,∠DCE=90°,AD=BE. ∴在Rt△DCE 中,DE2=DC2+EC2=2DC2. ∵∠A=∠ABC=∠CBE=45°,∴∠DBE=90°. 在Rt△DEB 中,∵BE2+BD2=DE2, ∴AD2+BD2=2DC2. (2题图) (2)如图,连接 ME. ∵∠DCM=45°,∴∠MCE=∠DCM=45°