第二章 专题6 勾股定理与分类讨论-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ 159 2.5.3 将角度分解为60°,90°或45°的特殊角 结合全等 对点集训 1.解:如图,过点 A 作∠PAD=60°,AD=AP,连接 PD,BD. ∴△APD 是等边三角形. ∴AD=PD=PA=3,∠APD=∠ADP=60°. ∵∠APB=150°, ∴∠BPD=∠APB-∠APD=150°-60°=90°. 在Rt△DPB 中,根据勾股定理,得 DB= PD2+PB2= 9+16=5. ∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC. ∵∠DAP=∠BAC=60°,∴∠DAB+∠BAP= ∠BAP+∠PAC,即∠DAB=∠PAC. 又AD=AP,AB=AC,∴△ADB≌△APC(SAS). ∴DB=PC. ∴PC=5. (1题图) 2.解:如 图,过 点 C 作∠DCP=90°,CD=CP,连 接 DP,AD. ∴∠CDP=∠CPD=45°. ∵∠APC=165°, ∴∠APD=∠APC-∠CPD=165°-45°=120°. ∵CD=CP= 2,∴在Rt△CDP 中,根据勾股定理, 得DP= CD2+CP2= 2+2=2. 过点D 作DE⊥AP 交AP 的延长线于点E. ∴∠DEP=90°,∠DPE=60°,∠PDE=30°. ∴PE= 1 2DP= 1 2×2=1. 根据勾股定理,得 DE= DP2-PE2 = 4-1= 3,AE=AP+PE=3+1=4. 在Rt△DAE 中,根据勾股定理,得 DA= AE2+DE2= 16+3= 19. ∵∠DCP=∠ACB=90°, ∴∠DCA+∠ACP=∠PCB+∠ACP,即∠DCA= ∠PCB. 又AC=BC,CD=CP,∴△DCA≌△PCB(SAS). ∴DA=PB. ∴PB= 19. (2题图) 专题6 勾股定理与分类讨论 金题试做 解:当∠B 为锐角时,如图1. 在Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 BD= AB2-AD2= 132-122=5. 在Rt△ADC 中,根据勾股定理,得 CD= AC2-AD2= 202-122=16. ∴BC=BD+CD=5+16=21. ∴S△ABC= 1 2BC ·AD= 1 2×21×12=126 (cm2). (例题图1) 当∠B 为钝角时,如图2. 同理可得,BD=5,CD=16. ∴BC=CD-BD=16-5=11. ∴S△ABC= 1 2BC ·AD= 1 2×11×12=66 (cm2). (例题图2) 综上所述,△ABC 的面积为126 cm2 或66 cm2. 八年级 下册 RJ160 对点集训 1.解:如 图,当 AC 边 上 的 中 线BD=AC 时,BD= AC=43,CD= 1 2AC=23. ∵∠C=90°, ∴在Rt△BCD 中,根据勾股定理,得 BC= BD2-CD2= (43)2-(23)2=6. (1题图) 当BC边上的中线AE=BC时,CE= 1 2BC= 1 2AE. ∵∠C=90°, ∴在 Rt△AEC 中,根 据 勾 股 定 理,AC2=AE2- CE2,即(43)2=BC2- 12BC 2 . 解得BC=8. 综上所述,BC 的长为6或8. 2.解:①当底边BC=10时,如图1,过点A 作AD⊥BC 于点D. 根据题意,得1 2 ·BC·AD=30.∴AD=6. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=5. 在Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 AB= AD2+BD2= 62+52= 61. ∴AB=AC= 61. (2题图1) ②当AB=AC=10时,如图2,过点B 作BD⊥AC 交CA 的延长线于点D. 根据题意,得1 2 ·AC·BD=30.∴BD=6. 在Rt△ABD 和Rt△BDC 中,根据勾股定理,得 AD = AB2-BD2 = 102-62 = 8,BC = BD2+CD2= 62+(8+10)2=6 10. (2题图2) 综上所述,这块等腰三角形绿地的另两边的长分别 为 61 m和 61 m或10 m和6 10 m. 3.解:①当∠BAP=90°时,如图1. ∵AB=4,AO=BO,∴AO=BO= 1 2AB=2. ∵∠AOC=120°,∴∠APC=∠AOC-∠BAP=30°. ∴OP=2OA=4. 在Rt△APO 中,根据勾股定理,得 AP= OP2-OA2= 42-22=23. (3题图1) ②当∠ABP=90°时,如图2. ∵∠AOC=120°,∴∠BPO=∠AOC-∠ABP=30°. ∴OP=2OB=4. 在Rt△BPO 中,根据勾股定理,得 BP= OP2-OB2= 42-22=23. 在Rt△ABP 中,根据勾股定理,得 AP= AB2+BP2= 42+(23)2=27. (3题图2) ③