第二章 专题4 勾股定理与方程思想-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ156 专题4 勾股定理与方程思想 2.4.1 单勾股列方程 金题试做 解:∵AC∶BC=3∶4,∴设AC=3k,BC=4k. 在Rt△ABC 中,∵∠C=90°,∴AC2+BC2=AB2. ∴9k2+16k2=100. 解得k=2或k=-2(不合题意,舍去). ∴AC=6,BC=8. 对点集训 1. 83 3 2.解:设BD=x,则DC=BC-BD=3-x. ∵DE 为AB 的垂直平分线,∴AD=BD=x. 在Rt△ADC 中,根据勾股定理,AC2+DC2=AD2. ∴1+(3-x)2=x2.解得x= 5 3. ∴AD= 5 3. 3.解:如图,过点D 作DE⊥AB,垂足为E. ∴∠DEA=90°. 在Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 AB= BC2+AC2= 82+62=10. 设DC=x,则BD=8-x. ∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠CAD=∠EAD. 在△DCA 和△DEA 中, ∠C=∠DEA, ∠CAD=∠EAD, DA=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△DCA≌△DEA(AAS). ∴DC=DE=x,AC=AE=6. ∴BE=AB-AE=10-6=4. 在Rt△DEB 中,根据勾股定理,DE2+BE2=BD2. ∴x2+42=(8-x)2.解得x=3. ∴CD=3. (3题图) 2.4.2 双勾股列方程 金题试做 解:设BD=x. ∵BC=21,∴CD=BC-BD=21-x. ∵AD⊥BC,∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2. ∴132-x2=202-(21-x)2.解得x=5. 根据勾股定理,得AD= AB2-BD2= 132-52=12. ∴主梁AD 的高度是12 m. 对点集训 1.解:如图,过点A 作AD⊥BC 于点D,设BD=x,则 CD=14-x. 在Rt△ABD 中,AD2=AB2-BD2=152-x2. 在Rt△ACD 中,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2. ∴152-x2=132-(14-x)2.解得x=9. ∴AD2=152-92=144,即AD=12. ∴S△ABC= 1 2×BC×AD= 1 2×14×12=84. (1题图) 2.解:设AD=x,则CD=AC-AD=8-x. ∵BD⊥AC,∴∠BDA=∠BDC=90°. 在Rt△ABD 中,BD2=AB2-AD2=82-x2. 在Rt△CBD 中,BD2=BC2-CD2=102-(8-x)2. ∴82-x2=102-(8-x)2.解得x= 7 4. ∴AD 的长为 7 4. 3.解:(1)设AE=x. ∵C,D 两村到供水站E 的距离相等, ∴DE=CE,即DE2=CE2. ∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠DAE=∠CBE=90°. 在Rt△DAE 和Rt△CBE 中,根据勾股定理, AD2+AE2=DE2,CB2+BE2=CE2. 八年级 下册 RJ 157 ∴82+x2=62+(14-x)2.解得x=6. ∴供水站E 应建在距A 点6 km处. (2)DE⊥CE.理由如下: 由(1),知EA=6. ∵CB=6,∴EA=CB. 在Rt△DAE 和Rt△EBC 中, DE=EC, EA=CB, ∴Rt△DAE≌Rt△EBC(HL).∴∠D=∠BEC. ∵∠D+∠AED=90°,∴∠BEC+∠AED=90°. ∴∠DEC=90°,即DE⊥CE. 4.解:设AD=x,则BD=16-x. ∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°. ∴在Rt△ACD 中,根据勾股定理,AC2-AD2=CD2,即 142-x2=CD2. 在Rt△CDB 中,根据勾股定理,BC2-BD2=CD2, 即62-(16-x)2=CD2. ∴142-x2=62-(16-x)2.解得x=13. ∴AD=13,BD=16-13=3. ∴CD= BC2-BD2= 36-9=33. ∴S△ABC= 1 2AB ·CD= 1 2×16×33=243. 5.解:设BC=x. ∵∠ACB=90°, ∴在 Rt△ADC 中,根 据 勾 股 定 理,AD2-CD2= AC2,即15.62-(6.4+x)2=AC2. 在Rt△ABC 中,根据勾股定理,AB2-BC2=AC2,即 102-x2=AC2. ∴15.62-(6.4+x)2=102-x2.解得x=8. ∴AC= AB2-BC2= 100-64=6(m). ∴看台的高度AC 为6 m. 专题5 勾股定理与全等构造 2.5.1 遇45°,135°作等腰直角三角形构造全等 金题试做 解:如图,过点C 作CD⊥CP,且CD=CP,连接PD,BD. ∴∠DCP=90°,∠CDP=∠CPD=45°. ∵∠CPB=135°,∴∠DPB=∠CPB-∠CPD=90°. ∵