第二章 专题3 利用勾股定理逆定理证垂直-2021-2022学年八年级下册初二数学同步【课课帮】培优训练（人教版）

八年级 下册 RJ154 9.解:(1)证明:由折叠,得∠EFC=∠EFG. ∵AD∥BC,∴∠EFC=∠GEF. ∴∠EFG=∠GEF. ∴GE=GF.∴△GEF 是等腰三角形. (2)∵△GEF 的高为AB=3, ∴当GE 最大时,△GEF 的面积最大. ∴当点G 与点A 重合时,△GEF 的面积最大,如图. 由折叠,知AF=CF. 在Rt△ABF 中,根据勾股定理,AF2=AB2+BF2. ∴AF2=32+(9-AF)2.解得AF=5. ∴GE=AF=5. ∴△GEF 的面积的最大值= 1 2×5×3= 15 2. (9题图) 10.解:(1)①90°;45°;2 ②如图1,∵P 为AB 的中点,∴AP=BP=5. 由折叠,知DE=EP,DF=PF. 设AE=x,则DE=EP=6-x. 在Rt△AEP 中,根据勾股定理,AE2+AP2=EP2. ∴x2+52=(6-x)2.解得x= 11 12. ∴AE= 11 12. (10题图1) (2)如图2,连接EM,设AE=x. 由折 叠,知 PE =DE,∠CDE = ∠EPM =90°, CD=CP=10. ∵AM=DE,∠A=90°, ∴AM=PE,∠A=∠EPM. 又EM=ME, ∴Rt△AEM≌Rt△PME(HL).∴AE=PM=x. ∴CM=10-x,BM=AB-AM=AB-DE=10- (6-x)=4+x. 在Rt△BCM 中,根据勾股定理,BM2+BC2=CM2. ∴(4+x)2+62=(10-x)2.解得x= 12 7. ∴AE= 12 7. (10题图2) (3) 61-5 专题3 利用勾股定理逆定理证垂直 金题试做 解:(1)AP=CQ.理由如下: ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=CB,∠ABC=60°. ∵∠PBQ=60°,∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ- ∠PBC,即∠ABP=∠CBQ. 又BP=BQ,∴△ABP≌△CBQ(SAS). ∴AP=CQ. (2)△PQC 是直角三角形.理由如下: ∵BP=BQ,∠PBQ=60°, ∴△PBQ 是等边三角形.∴PQ=PB=4. ∵AP=CQ,AP=3,∴CQ=3. ∵PC=5,∴PQ2+CQ2=42+32=25=PC2. ∴△PQC 是直角三角形. 对点集训 1.北偏西40° 2.解:如图,连接BD. ∵CD⊥CP,CD=CP=2, ∴△CPD 为等腰直角三角形,∠CPD=45°. ∵∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90°, 八年级 下册 RJ 155 ∴∠ACP=∠BCD. 又AC=BC,∴△CAP≌△CBD(SAS). ∴PA=DB=3. 在Rt△CPD 中,根据勾股定理,得 DP2=PC2+CD2=22+22=8. ∵PB=1,∴PB2=1.∴DP2+PB2=8+1=9. ∵DB2=9,∴DB2=DP2+PB2. ∴△DPB 为直角三角形,且∠DPB=90°. ∴∠BPC=∠CPD+∠DPB=45°+90°=135°. (2题图) 3.解:(1)等腰直角三角形 (2)如图1,延长CB 至点E,使BE=DC,连接AE. 在四边形ABCD 中,∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°. ∵∠ABC+∠ABE=180°,∴∠ABE=∠ADC. 在△ABE 和△ADC 中, AB=AD, ∠ABE=∠ADC, BE=DC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ADC(SAS). ∴AE=AC,∠BAE=∠DAC. ∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=90°. ∴S△ACE= 1 2AC 2. ∵四边形ABCD 的面积为32,S四边形ABCD=S△ACE, ∴ 1 2AC 2=32.∴AC=8(负值不合题意,舍去). ∴EC= 2AC=82. ∴BC=EC-BE=82- 2=72. (3题图1) (3)画图如图2和图3. ①当点D 在△ABC 内时,如图2,过点A 作AE⊥AD, 使AE=AD,连接CE,DE. ∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD=CE=6. ∵∠DAE=90°,AD=AE, ∴△DAE 为等腰直角三角形. ∴∠ADE=45°,DE= 2AD=42. ∵CD=2,∴CE2=DE2+CD2.∴∠EDC=90°. ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+90°=135°. (3题图2) ②当点D 在△ABC 外时,如图3,过点A 作AE⊥AD, 使AE=AD,连接CE,DE. ∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中,