第11讲 三棱锥的体积的计算-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第11讲 三棱锥的体积的计算 三棱锥的体积公式是，要求解三棱锥的体积，关键是确定三棱锥的底面及其对应的体高.由于三棱锥的四个面都可以作为底面，这给体积的求解过程带来了多种选择，也增加了难度.因为有多种选择，所以哪种最适合、最方便就成了值得思考的问题. 为此，笔者归纳出常见的几何体模型，明晰解决问题的方向，寻找解决这类问题的方法套路.
 1、 三棱锥具备明显的线面垂直的几何特征 当三棱锥中线面垂直的几何特征很明显时，可直接利用该线面垂直关系求解三棱锥的体积，从而完成体积的求解或者求解其他问题. 2、 三棱锥的顶点扮演三棱锥所在棱的n等分点的角色 当三棱锥中的线面垂直的几何特征不够明显时，可将目光聚焦三棱锥的四个顶点，一般情况，至少有一个顶点扮演的角色是该三棱锥的一条棱所在线段的中点或者n等分点.此时采用的方式，便是通过等分的关系转化该点，即转化n等分点，形成新的顶点，转化到新的三棱锥里进行求解.要注意的是，当有多个顶点可转化的时候，选择顶点应有这样的效果，即转化后新三棱锥的其中一面应付托在底面或侧面，产生明显的线面垂直关系.
 3、 顶点所在的棱（非三棱锥本身）与三棱锥的其中一面满足线面平行的几何特征 当三棱锥线面垂直的几何特征不明显且顶点不再扮演三棱锥所在棱的等分点时，可观察顶点所在的棱（非三棱锥本身）与三棱锥的其中一面是否满足线面平行的几何关系，如果满足，可将顶点转化为棱上任意一点.要注意的是，在转化选点的过程中，要保证所选的新点与底面所构建的新三棱锥具备较为明显的线面垂直的几何特征，即新三棱锥是否有一面付托在垂直关系较为明显的底面或者侧面，最终达到线面垂直的目的. 4 三棱锥的棱与经过三棱锥的其他直线具有线线平行的几何特征
 当三棱锥的棱与经过三棱锥的其他直线具有线线平行的几何特征时，与第三种模型的操作手段一致，原理一致，都是利用平行，将顶点到平面的距离转化为平行线上的点到平面的距离.不同的是，第三种线面平行的模型，其顶点到平面的距离与平行线上的任意一点到平面的距离相等，而第四种线线平行的模型，其顶点到平面的距离转化为平行线上的点到平面的距离的若干倍.
 三棱锥的体积问题的求解关键是三棱锥具备明显的线面垂直的几何特征，当线面垂直的几何特征不明显时，就需要将问题进行转化，转化顶点或转化为新三棱锥.无论如何转化，其核心始终围绕线面垂直. 第三关 考点一 三棱锥具备明显的线面垂直的几何特征 【例1】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面． （1）证明：； （2）设，求点到平面的距离（棱锥的高）． （3）若，求三棱锥的体积． （4）设，若是的中点，求棱锥的体积． （5）设，过的平面交于点，若，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：因为，， 由余弦定理，得． 所以，故． 又底面，所以． 所以平面，故． （2）解：如图，作，垂足为．已知底面，故． 由（1）知，因为，所以． 所以平面，．则平面， 即为棱锥的高．由知，． 由，得．所以点到平面的距离为． （3），． （4）是的中点，点到平面的距离是点到面的距离的一半， ，，则． 又平面，． （5）由，得为中点， 在四边形中，，，，，， 三角形的面积为． 又面，且， 三棱锥， ． 考点二 三棱锥的顶点扮演三棱锥所在棱的n等分点的角色 【例2】如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面，， （1）求证：平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：四棱锥中，底面是直角梯形，，， ，，，平面，， ，， ，平面． （2）解：， 是的中点，到平面的距离， 三棱锥的体积： ． 变式1：如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：在平行四边形中，，， 又．且， 面，面， 平面平面； （2），，， ， 由（1）得，又，面， 三棱锥的体积 ． 变式2：如图，在菱形中，，，，点，分别是与的重心，现以为折痕将折起，使点到达点的位置，点对应点，构成三棱锥． （1）证明：在翻折过程中始终有； （2）点为线段的中点，当时，求点到平面的距离． 【解析】（1）菱形中，，， 和均为正三角形， 又、分别为对应的重心， ，，． （2）是边长为2的正三角形，， 由等体积法可知，，，解得， 点为线段的中点， 点到平面的距离为． 变式3：如图，直三棱柱，，，，点、分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； 【解析】（1）证明：连接、， 由已知，，三棱柱为直三棱柱， 所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又平面， 因此平面； （2）解：连结，由题意， 因为平面平面， 所以平面． 又， 故 变式4：如图，和所在平面互相垂直，且，，，，分别为，，的中点． （1）求证：