7.3 复数的三角表示-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

7.3 复数的三角表示 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值， 且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 3、复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 题型一 复数的代数式与三角式互换 类型1 代数式化为三角式 【例1】将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）： （1）； （2）-2i； （3）； （4）. 【变式1-1-1】把下列复数的代数形式化成三角形式. （1）； （2）. 【变式1-1-2】已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，试写出下列各复数的三角形式． （1）z1＝－a＋bi； （2）z2＝－a－bi； (3)z3＝a－bi. 【变式1-1-3】将下列复数代数式化为三角式： （1）； （2）. （3）； （4） . 类型2 三角形式化为代数式 【例1-2】把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）； （2）. 【变式1-2-1】复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是( ) A．3 B．3 C．3 D．3 【变式1-2-2】将下列各复数的三角形式转化为代数形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型二 复数的辅角主值 【例2】复数sin40°－icos40°的辐角主值是( ) A．40° B．140° C．220° D．310° 【变式2-1】复数的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（ ） A．， B． C． D． 【变式2-3】计算的辐角主值为( ) A. B. C. D. 【变式2-4】已知复数z满足(z＋1)(＋1)=|z|2，且是纯虚数. （1）求z； （2）求z的辐角主值. 题型三 三角形式下复数的乘、除法 【例3】计算下列各式： （1）； （2）； 【变式3-1】计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式3-2】（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】计算的结果是（ ） A．-9 B．9 C．-1 D．1 题型四 三角形式下复数乘、除法的几何意义 【例4】把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________． 【变式4-1】将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量，那么对应的复数是（ ） A. B. C. D. 【变式4