6.2.4 向量的数量积（第2课时）-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的数量积的应用 情境导入 思考1：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律. 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立: 对于向量和实数，有 (1) (2) (3) 新知探索 下面我们利用向量投影证明分配律(3). 证明：如图，任取一点，作，，. 设向量与的夹角分别为它们在向量上的投影向量分别为，，，与方向相同的单位向量为，则 新知探索 因为，所以.于是 即 整理，得 所以， 即. 所以. 因此， 新知探索 思考2：设是向量，一定成立吗？为什么？ 不一定成立. ∵为实数，为实数， ∴为与向量共线的向量，为与向量共线的向量， 而向量与向量未必共线， ∴不一定成立. 注： 例析 例11.我们知道，对任意，恒有.对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1). 解：(1) ； (2) 因此，上述结论是成立的. 例析 例12.已知，，与的夹角为60°，求. 解： 例析 例13.已知，，且与不共线.当为何值时，向量与互相垂直？ 解：与互相垂直的充要条件是 即 因为， 所以 解得. 也就是说，当时，与互相垂直. 新知探索 辨析1：判断正误. 1.. ( ) 2.(. ( ) 3.. ( ) 4.若与同向，则. ( ) 5.向量的数量积运算满足 ( ) 答案：×，√，√，√，×. 练习 题型一：平面向量数量积的应用 例1.设，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①②不与垂直； ③④ 其中正确结论的序号是_______. 答案：①③④ 解：根据向量数量积的分配律知①正确； ∵ ∴与垂直，②错误； ∵，不共线，∴组成三角形的三边， ∴成立，③正确； 易知④正确，故正确结论的序号是①③④. 练习 变1.对于任意向量，，下列说法中正确的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：∵，∴ ，∴A项错误； 根据向量加法的三角形法则知，只有当同向时取“=”，∴B项错误. ∵是向量，其方向与向量相同，是向量，其方向与向量相同，∴C项错误； ∵∴，所以D项正确. 练习 方法技巧： 向量的数量积与实数的乘积有联系，同时也有许多不同之处.例如，由并不能得出或.特别需要注意的是向量的数量积不满足结合律. 练习 题型二：求向量的模 例2.已知向量与的夹角为120°，且，求： (1)(2) 解：由已知得 (1)∵ ∴ (2)∵ ∴ 练习 变2.(1)若向量，满足，，且，则等于（ ）. A.3 B. C.10 D. (2)已知向量，的夹角为45°，且，，则. 答案：(1)D.(2) 解：(1)∵，∴ ∴∴∴ (2)由，得即 解得或(舍). 练习 方法技巧： 解决与向量的模有关问题的基本思路 或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决与向量的模有关问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 练习 题型三：向量的夹角与垂直问题 例3.若非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）. A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：C. 解：∵，∴， ∴.设的夹角为 则 ，∴ 因此从而故选C. 练习 变3.(1)已知是非零向量，且满足，，则与的夹角为（ ）. A. B. C. D. 答案：B. 解：由题意可得，即 即∴ 设与的夹角为，则. ∵，∴与的夹角为. 练习 变3.(2)已知向量的夹角为60°，求当为何值时，与垂直？ 解：由已知得 若与垂直，则 即 ∴，即时，与垂直. 练习 方法技巧： 求平面向量的夹角的方法 (1)求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找，三者之间的关系，然后代入求解. (2)求向量的