6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学 习 目 标 核 心 素 养 1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养． 2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养. 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会将在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有6个航班，4列火车．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？ 1．分类加法计数原理 思考1：若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ [提示]　共有m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 思考2：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ [提示]　共有m1×m2×…×mn种不同的方法． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．现从高二(2)班24名男生和26名女生中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________． 50　[分两类完成：第一类从24名男生中任选1人，共有24种不同选法；第二类从26名女生中任选1人，共有26种不同选法，所以不同的选法种数为24＋26＝50.] 3．已知x∈{1,2,3}，y∈{2，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为________． 9　[因为从集合{1,2,3}中任取x，所以有3种取法，y从{2，－4,8}中任取一个有3种取法，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．] 4．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，求不同走法的种数． [解]　不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种). 利用分类加法计数原理解题 【例1】　在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [思路点拨]　根据情况安排个位、十位上的数字． 先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． [解]　法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12,13,14,15,16,17,18,19， 23,24,25,26,27,28,29， 34,35,36,37,38,39， 45,46,47,48,49， 56,57,58,59， 67,68,69， 78,79， 89. 共有36个符合题意的两位数． 1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数． [解]　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个． 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？ [解]　分三类： ①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个； ②第二类为两位整数，有12,13,21,