课时分层作业2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word练习(人教A版)

课时分层作业(二)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25 B．20 C．16 D．12 C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.] 2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A．24种 B．30种 C．36种 D．48种 D　[由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给最上面一块着色，有4种结果， 再给中间左边一块着色，有3种结果， 再给中间右边一块着色有2种结果， 最后给下面一块着色，有2种结果， 根据分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48种结果．] 3．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理知，共有9种不同的选派方法．] 4．从集合{1,2,3}和{1,4,5,6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为(　　) A．12 B．11 C．24 D．23 D　[先在{1,2,3}中取出一个元素，共有3种取法，再在{1,4,5,6}中取出一个元素，共有4种取法，取出的两个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24个．又点(1,1)被算了两次，所以共有24－1＝23个．] 5．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少出现一次，这样的四位数的个数是(　　) A．20 B．16 C．14 D．12 C　[因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以符合题意得有2×2×2×2－2＝14个．] 二、填空题 6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是________． 720　[由题意知，本题是一个分步计数问题，因为3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，所以第一张有10种不同的分法，第二张有9种不同的分法，第三张有8种不同的分法，根据分步乘法计数原理知有10×9×8＝720种不同的分法．] 7．用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2 000大的四位奇数________个． 120　[按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类：末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类：末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120个．] 8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种． 420　[如图，四棱锥S­ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时有5×4×3×1×3＝180种． 当A，C不同色时，有 5×4×3×2×2＝240种． 因此共有180＋240＝420种．] 三、解答题 9．用0,1,2,3，…，9十个数字可以组成多少个不同的 (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且没有重复数字的自然数． [解]　(1)由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有9×10×10＝900个． (2)百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法，个位数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数． (3)一位自然数有10个，二位自然数有9×9＝81个，三位自然数有4×9×8＝288个． 所以共有10＋81＋288＝379个小于500且无重复数字的自然数． 10.用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法． [解]　法一：分类： 第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120种涂法， 第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360种涂法， 共有120＋360＝480种涂法． 法二：分步：先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法， 所以共有6×5×4×4＝480种涂法． 法三：以四个区域涂n种颜色为标准分类，可知至少用三种颜色，最多用四种颜色． 第一类：用三种颜色着色，A，D区域必须是同种颜色， 有6×5×4＝120种涂法． 第二类：用四种颜色着色，四个区域的颜色均不相同， 有6×5×4×3＝360种涂法． 所以共有120＋360＝48