6.3.1 二项式定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

6.3　二项式定理 6.3.1　二项式定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1．能用计数原理证明二项式定理. 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养. 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养. 牛顿善于观察日常生活中的小事，取得了科学史上一个个重要的发现．但他马虎拖沓，曾经闹过许多笑话．作为大学教授，牛顿常常不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和扣好马裤的纽扣就走进大学的餐厅． 有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去，牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力又在哪里呢？ 1．二项式定理 (a＋b)n＝Cbn(n∈N*)． an－kbk＋…＋Can－2b2＋…＋Can－1b1＋Can＋C (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项公式 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？ [提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．，…，C，C 思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？ [提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.an－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　) (2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　) A．－720 B．720 C．120 D．－120 D　[C(－x)3＝－120x3.] 3．C等于(　　) ·2n－k＋…＋C·2n－1＋…＋C·2n＋C A．2n B．2n－1 C．3n D．1 C　[原式＝(2＋1)n＝3n.] 4．(一题两空)(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为______，第3项的二项式系数为________． 40　10　[∵T3＝C22x2＝40x2，(2x)2＝C ∴第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C＝10.] 二项式定理的正用和逆用 【例1】　(1)求的展开式； (2)化简：C. (x＋1)n－k＋…＋(－1)nC(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－C [解]　(1)法一：.＋－＝x2－2x＋＋C·－C)2·(＋C)3·()4－C(＝C 法二：(2x－1)4＝＝ ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋.＋－ (2)原式＝C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n＋C 二项式定理的双向功能 (1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． 1．(1)用二项式定理展开； )) (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [解]　法一：))＋C))(2x)·＋C))(2x)2·＋C))(2x)3))＋C(2x)4(2x)5＋C＝C)) ＝32x5－120x2＋. －＋－ 法二：(－3)5]·(4x3)(－3)4＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)5＋C[C＝＝)) ＝·(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243) ＝32x5－120x2＋.－＋－ (2)原式＝C－1＝[(x－1)